Question

【題目】在中，，，，動點P在AB邊上（不含端點A，B），以PC為直徑作圓．圓與BC，CA分別相交于點M，N，則線段MN長度的最小值為________．

Answer 1

【答案】4.8．

【解析】

設(shè)MN的中點為O，若⊙O與AB的切點為P，連接PO，CP，CO，則有OP⊥AB；由勾股定理可求得BC的長為6，通過MN=MO+NO=OP+OC及△PCO的三邊關(guān)系可得到MN≥CP所以此當(dāng)MN=CD時，MN有最小值，即為CP的長．

解：如圖，設(shè)MN的中點為O，當(dāng)⊙O與AB的切點為P時，連接PO，連接CP，CO，則有OP⊥AB．

∵AB=10，AC=8，
∴BC=6，
∵MN=MO+NO，NO=OC，MO=OP，

∴OC+OP=MN，
∴OC+OP≥CP，MN≥CP．
∴當(dāng)MN=CP時，MN有最小值，
∵OP⊥AB，
∴CP⊥AB．

∴

∴

∴CP=4.8，

即線段MN長度的最小值為4.8．
故選：D．