【題目】(1)如圖1,A是⊙O上一動點,P是⊙O外一點,在圖中作出PA最小時的點A.
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以點C為圓心的⊙C的半徑是3.6,Q是⊙C上一動點,在線段AB上確定點P的位置,使PQ的長最小,并求出其最小值.
(3)如圖3,矩形ABCD中,AB=6,BC=9,以D為圓心,3為半徑作⊙D,E為⊙D上一動點,連接AE,以AE為直角邊作Rt△AEF,∠EAF=90°,tan∠AEF=,試探究四邊形ADCF的面積是否有最大或最小值,如果有,請求出最大或最小值,否則,請說明理由.
【答案】(1)作圖見解析;(2)PQ長最短是1.2;(3)四邊形ADCF面積最大值是,最小值是.
【解析】
(1)連接線段OP交⊙C于A,點A即為所求;
(2)過C作CP⊥AB于Q,P,交⊙C于Q,這時PQ最短,根據(jù)勾股定理以及三角形的面積公式即可求出其最小值;
(3)△ACF的面積有最大和最小值,取AB的中點G,連接FG,DE,證明△FAG~△EAD,進而證明點F在以G為圓心1為半徑的圓上運動,過G作GH⊥AC于H,交⊙G于F1,GH反向延長線交⊙G于F2,①當F在F1時,△ACF面積最小,分別求出△ACD的面積和△ACF的面積的最小值即可得出四邊形ADCF的面積的最小值;②當F在F2時,四邊形ADCF的面積有最大值,在⊙G上任取異于點F2的點P,作PM⊥AC于M,作GN⊥PM于N,利用矩形的判定與性質以及三角形的面積公式即可得出得出四邊形ADCF的面積的最大值.
解:(1)連接線段OP交⊙C于A,點A即為所求,如圖1所示;
(2)過C作CP⊥AB于Q,P,交⊙C于Q,這時PQ最短.
理由:分別在線段AB,⊙C上任取點P',點Q',連接P',Q',CQ',如圖2,
由于CP⊥AB,根據(jù)垂線段最短,CP≤CQ'+P'Q',
∴CO+PQ≤CQ'+P'Q',
又∵CQ=CQ',
∴PQ<P'Q',即PQ最短.
在Rt△ABC中,,
∴,
∴PQ=CP﹣CQ=6.8﹣3.6=1.2,
∴.
當P在點B左側3.6米處時,PQ長最短是1.2.
(3)△ACF的面積有最大和最小值.
如圖3,取AB的中點G,連接FG,DE.
∵∠EAF=90°,,
∴
∵AB=6,AG=GB,
∴AC=GB=3,
又∵AD=9,
∴,
∴
∵∠BAD=∠B=∠EAF=90°,
∴∠FAG=∠EAD,
∴△FAG~△EAD,
∴,
∵DE=3,
∴FG=1,
∴點F在以G為圓心1為半徑的圓上運動,
連接AC,則△ACD的面積=,
過G作GH⊥AC于H,交⊙G于F1,GH反向延長線交⊙G于F2,
①當F在F1時,△ACF面積最。碛桑河桑2)知,當F在F1時,F1H最短,這時△ACF的邊AC上的高最小,所以△ACF面積有最小值,
在Rt△ABC中,
∴,
在Rt△ACH中,,
∴,
∴△ACF面積有最小值是:;
∴四邊形ADCF面積最小值是:;
②當F在F2時,F2H最大理由:在⊙G上任取異于點F2的點P,作PM⊥AC于M,作GN⊥PM于N,連接PG,則四邊形GHMN是矩形,
∴GH=MN,
在Rt△GNP中,∠NGF2=90°,
∴PG>PN,
又∵F2G=PG,
∴F2G+GH>PN+MN,即F2H>PM,
∴F2H是△ACF的邊AC上的最大高,
∴面積有最大值,
∵,
∴△ACF面積有最大值是;
∴四邊形ADCF面積最大值是;
綜上所述,四邊形ADCF面積最大值是,最小值是.
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【題目】如圖,直線與函數(shù)的圖象交于點.
(1)求的值;
(2)過點作軸的平行線,直線與直線交于點,與函數(shù)的圖象交于點,與軸交于點.
①若點是線段的中點時,則點的坐標是______,的值是______;(直接寫答案)
②當時,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成,照此規(guī)律,第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多________個.(用含n的代數(shù)式表示)
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【題目】已知:在中,,,過點、向過點的直線作垂線,垂足分別為、,交于點.
(1)如圖,求證:;
(2)如圖,連接、,若,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出四個角,使寫出的每一個角的正切值都等于.
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【題目】如圖,小明在商城二樓地板處發(fā)現(xiàn)對五層居民樓頂防雨棚一側斜面與點在一條直線上,此時測得,仰角是,上到九樓在地板邊沿點測得居民樓頂斜面頂端點俯角是,已知商城每層樓高米,居民樓每層樓高米,試計算居民樓頂防雨棚一側斜面的長度.(結果保留精確到米)(參考數(shù)據(jù):,,,,)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3),……,Pn(xn,yn)均在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點Q1、Q2、Q3、……、Qn均在x軸的正半軸上,且△OP1Q1、△Q1P2Q2、△Q2P3Q3、…、△Qn﹣1PnQn均為等腰直角三角形,OQ1、Q1Q2、Q2Q3、……、Qn﹣1Qn分別為以上等腰直角三角形的底邊,則y1+y2+y3+…+y2019的值等于_____.
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【題目】中國古代有若輝煌的數(shù)學成就,《周髀算經》,《九章算術》,《海島算經》(分別用字母A、B、C依次表示這三部專著)等是我國古代數(shù)學的重要文獻.將A、B、C這三個字母分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,把這3張卡片背面朝上洗均后放在桌面上小明先從中隨機抽取張卡片,記錄下卡片上的字母,放回后洗均,再由小強從中隨機抽取張卡片,請用列表法或畫樹狀圖法,求小明和小強抽到的卡片上的字母相同的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),將直線沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過B、C兩點.
(1)求直線BC及拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為D,點P在拋物線的對稱軸上,且,求點P的坐標;
(3)連結CD,求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù).
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