Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作⊙A交AB于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F，連接AF、BF，DF．

（1）試探究BF與AF位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí)，四邊形ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

【答案】（1）互相垂直（2）60°

【解析】試題分析：（1）利用SAS可證得兩△ABC≌△ABF，從而得∠AFB=∠ACB=90°，即可作出判斷；

（2）若四邊形ADFE為菱形，則四條邊相等，因?yàn)?/span>EF=AE，AE=AF，所以△EAF為等邊三角形，所以∠E=60°，所以∠CAB=∠E=60°．當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，可證AE∥FD，四邊形ADFE是鄰邊相等的平行四邊形，所以是菱形．

試題解析：（1）BF與AF位置關(guān)系為互相垂直，

理由如下：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中， ，

∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF與AF位置關(guān)系為互相垂直；

（2）若四邊形ADFE為菱形，則四條邊相等，兩組對(duì)邊分別平行，∵EF=AE，AE=AF，

∴△EAF為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠CAB=∠E=60°．

∴當(dāng)∠CAB等于60度時(shí)，四邊形ADFE為菱形．

證明如下：當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，∠FAB=60°，∠E=∠EFA=60°，∴∠EAF=∠AFD=60°，

∴AE∥FD，∵EF∥AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形，又∵AE=AD，

∴四邊形ADFE是鄰邊相等的平行四邊形即菱形．