Question

【題目】已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是y1＝－ax2－ax＋1，y2＝ax2－ax－1(其中a為常數(shù)，且a＞0)．

（1）請(qǐng)寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；

（2）當(dāng)a＝時(shí)，設(shè)y1＝－ax2－ax＋1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)(M在N的左邊)，y2＝ax2－ax－1與x軸分別交于E，F兩點(diǎn)(E在F的左邊)，觀察M，N，E，F四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；

（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，直線l，l1，l2都垂直于x軸，l1，l2分別經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，l在直線l1，l2之間，且l與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，求線段CD的最大值？

Answer 1

【答案】（1）拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，或拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上；拋物線y1＝－ax2－ax＋1的對(duì)稱軸是x＝－，或拋物線y2＝ax2－ax－1的對(duì)稱軸是x＝；拋物線y1＝－ax2－ax＋1經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，或拋物線y2＝ax2－ax－1經(jīng)過點(diǎn)(0，－1)；（2）因?yàn)?/span>MN＝3，EF＝3，所以MN＝EF，見解析；（3）2

【解析】

（1）根據(jù)給出的拋物線的解析式并且結(jié)合函數(shù)的圖象寫出三條不同的結(jié)論即可；
（2）先將a=代入拋物線解析式，分別求得M、N、E、F四點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)四點(diǎn)坐標(biāo)寫出合理的結(jié)論；
（3）根據(jù)題意求出CD關(guān)于x的解析式，然后求出當(dāng)x=0時(shí)，CD的值最大．

解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：

①拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，

或拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上；

②拋物線y1＝－ax2－ax＋1的對(duì)稱軸是x＝ ，

或拋物線y2＝ax2－ax－1的對(duì)稱軸是x＝；

③拋物線y1＝－ax2－ax＋1經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，

或拋物線y2＝ax2－ax－1經(jīng)過點(diǎn)(0，－1)；

④拋物線y1＝－ax2－ax＋1與y2＝ax2－ax－1的形狀相同，但開口方向相反；

⑤拋物線y1＝－ax2－ax＋1與y2＝ax2－ax－1都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

⑥拋物線y1＝－ax2－ax＋1經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)或拋物線y2＝ax2－ax－1經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)；

(2)當(dāng)a＝時(shí)，y1＝－x2－x＋1，令－x2－x＋1＝0，

解得xM＝－2，xN＝1.

y2＝x2－x－1，令x2－x－1＝0，解得xE＝－1，xF＝2.

①∵xM＋xF＝0，xN＋xE＝0，∴點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②∵xM＋xF＋xN＋xE＝0，

∴M，N，E，F四點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)和為0；

③∵MN＝3，EF＝3，∴MN＝EF(或ME＝NF)．

(3)∵a＞0，∴拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上．

根據(jù)題意，得CD＝y1－y2＝(－ax2－ax＋1)－(ax2－ax－1)＝－2ax2＋2.

∴當(dāng)x＝0時(shí)，CD的最大值是2.