Question

【題目】把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫做第一次運(yùn)算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運(yùn)算，……如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”．例如：

，

，

所以32和70都是“快樂數(shù)”．

（1）寫出最小的兩位“快樂數(shù)”；判斷19是不是“快樂數(shù)”；并說明理由；

（2）若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）10，是，理由見詳解；（2）310和860.

【解析】

（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義計(jì)算即可；

（2）設(shè)三位“快樂數(shù)”為100a+10b+c，根據(jù)“快樂數(shù)”的定義計(jì)算．

解：（1）∵12+02=1，

∴最小的兩位“快樂數(shù)”10，

∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，

∴19是快樂數(shù)；

（2）設(shè)三位“快樂數(shù)”為100a+10b+c，由題意，經(jīng)過兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，所以第一次運(yùn)算后結(jié)果一定是10或者100，

則a2+b2+c2=10或100，

∵a、b、c為整數(shù)，且a≠0，

∴當(dāng)a2+b2+c2=10時，12+32+02=10，

①a=1，b=3或0，c=0或3時，三位“快樂數(shù)”為130，103，

②當(dāng)a=2時，無解；

③當(dāng)a=3，b=1或0，c=0或1時，三位“快樂數(shù)”為310，301，

同理當(dāng)a2+b2+c2=100時，62+82+02=100，

∴三位“快樂數(shù)”有680，608，806，860．

綜上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八個，

又因?yàn)槿�位“快樂�?shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，

∴只有310和860滿足已知條件．