【題目】如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF.連接CF交BD于G,連接BE交AG于H.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,解決下列問題:
(1)求證:BE⊥AG;
(2)求線段DH的長(zhǎng)度的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)2-2..
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2,利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3,從而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,然后求出OH=AB=2,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH的長(zhǎng)度最。
(1)證明:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠1=∠2,
在△ADG和△CDG中,
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,
∴∠1+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°-90°=90°,
∴BE⊥AG;
(2)解:如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,
則OH=AO=AB=2,
在Rt△AOD中,OD=,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OH+DH>OD,
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH的長(zhǎng)度最小,
DH的最小值=OD-OH=2-2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過O點(diǎn)作射線OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,使得ON落在射線OB上,此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為 度;
(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,使得ON在∠AOC的內(nèi)部.試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系,并說明理由;
(3)在上述直角三角板從圖1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中,若三角板繞點(diǎn)O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn),當(dāng)直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時(shí),求此時(shí)三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E在邊AB上,M、N分別在射線BC和射線AD上,連接EM,EN,將三角形MBE沿EM折疊(把物體的一部分翻轉(zhuǎn)和另一部分貼攏),點(diǎn)B落在點(diǎn)B’處;將三角形NAE沿EN折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處.
(1)若,,用直尺、量角器畫出射線EB’與EA’;
(2)若,,求的度數(shù);
(3)若,,用含的代數(shù)式表示的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:小錘遇到一個(gè)問題:如圖①,在△ABC中,DE//BC分別交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,已知CDBE,CD=2,BE=3,求BC+DE的值.
小錘發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)E作EFDC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,構(gòu)造△BEF,經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決.
(1)請(qǐng)按照上述思路完成小錘遇到的問題;
(2)參考小錘思考問題的方法,解決下面的問題:如圖②,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABEF是矩形,AC與DF交于點(diǎn)G,AC=BF=DF,求∠DGC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)A(2,﹣3),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知|,,且,求的值.
解:(1)因?yàn)?/span>,所以______;
因?yàn)?/span>,所以______;
又因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)______時(shí),______;
或當(dāng)______時(shí),______,
∴______或_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,,.將矩形ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊,使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E處,折痕交AB于點(diǎn)F.
(1)求線段AC的長(zhǎng).
(2)求線段EF的長(zhǎng).
(3)點(diǎn)G在線段CF上,在邊CD上存在點(diǎn)H,使以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)畫出,并直接寫出線段DH的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在□ABCD中,E為BC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,延長(zhǎng)DC,交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)DF,已知∠FDG=45°
(1)求證:GD=GF.
(2)已知BC=10, .求 CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD,BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說明你的理由.
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