Question

8．方程（x²-x+1）²-x²+x-3=0的實根為x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=x²-x+1，將原方程轉(zhuǎn)化為關于t的一元二次方程求出t的值，就t的不同值分別列出對應的關于x的方程求解即可．

解答 解：令t=x²-x+1，則原方程可化為：t²-（t+2）=0，即t²-t-2=0，
左邊因式分解得：（t+1）（t-2）=0，
∴t₁=-1，t₂=2，
當t=-1時，x²-x+1=-1，即x²-x+2=0，
∵△=（-1）²-4×1×2=-7，
∴方程無解；
當t=2時，x²-x+1=2，即x²-x-1=0，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
則方程的根為：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了用換元法解方程，解題關鍵是能準確的找出可用替換的代數(shù)式x²-x+1，再用字母t代替解方程．