【題目】如圖,正方形AOCB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點E(3,4).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D,直線y=﹣ x+b過點D,與線段AB相交于點F,求點F的坐標(biāo);
(3)連接OF、OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(4)若點P是x軸上的動點,點Q是(1)中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動點,且使得△PDQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形,請直接寫出點P的坐標(biāo).
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=; (2)點F的坐標(biāo)為(2,4);(3)∠AOF=∠EOC, 理由見解析;(4)P的坐標(biāo)是( ,0)或(﹣5,0).
【解析】試題分析:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,把點E(3,4)代入即可求出k的值,進(jìn)而得出結(jié)論;
(2)由正方形AOCB的邊長為4,故可知點D的橫坐標(biāo)為4,點F的縱坐標(biāo)為4.由于點D在反比例函數(shù)的圖象上,所以點D的縱坐標(biāo)為3,即D(4,3),由點D在直線y=- x+b上可得出b的值,進(jìn)而得出該直線的解析式,再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標(biāo);
(3)在CD上取CG=AF=2,連接OG,連接EG并延長交x軸于點H,由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG,△EGB≌△HGC(ASA),故可得出EG=HG.設(shè)直線EG的解析式為y=mx+n,把E(3,4),G(4,2)代入即可求出直線EG的解析式,故可得出H點的坐標(biāo),在Rt△AOF中,AO=4,AE=3,根據(jù)勾股定理得OE=5,可知OC=OE,即OG是等腰三角形底邊EF上的中線.所以O(shè)G是等腰三角形頂角的平分線,由此即可得出結(jié)論;
(4)分△PDQ的三個角分別是直角,三種情況進(jìn)行討論,作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,作DL⊥QR,于點L,即可構(gòu)造全等的直角三角形,設(shè)出P的坐標(biāo),根據(jù)點在圖象上,則一定滿足函數(shù)的解析式即可求解.
試題解析:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= ,
∵反比例函數(shù)的圖象過點E(3,4),∴4= ,即k=12,
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=;
(2)∵正方形AOCB的邊長為4,
∴點D的橫坐標(biāo)為4,點F的縱坐標(biāo)為4.
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上,
∴點D的縱坐標(biāo)為3,即D(4,3),
∵點D在直線y=﹣ x+b上,
∴3=﹣×4+b,
解得:b=5,
∴直線DF為y=﹣x+5,
將y=4代入y=﹣x+5,得4=﹣x+5,
解得:x=2,
∴點F的坐標(biāo)為(2,4);
(3)∠AOF=∠EOC,
理由如下:在CD上取CG=AF=2,連接OG,連接EG并延長交x軸于點H,
∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=90°,AF=CG=2,
∴△OAF≌△OCG(SAS).
∴∠AOF=∠COG.
∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=90°,BG=CG=2,
∴△EGB≌△HGC(ASA).∴EG=HG.
設(shè)直線EG:y=mx+n,
∵E(3,4),G(4,2),
∴ ,解得 ,
∴直線EG:y=﹣2x+10.
令y=﹣2x+10=0,得x=5.
∴H(5,0),OH=5.
在Rt△AOE中,AO=4,AE=3,根據(jù)勾股定理得OE=5.
∴OH=OE.
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線.
∴OG是等腰三角形頂角的平分線.
∴∠EOG=∠GOH.
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF=∠EOC;
(4)P的坐標(biāo)是( ,0)或(﹣5,0).
當(dāng)Q在D的右側(cè)(如圖1),且∠PDQ=90°時,作DK⊥x軸,作QL⊥DK,于點L.
則△DPK≌△QDK,
設(shè)P的坐標(biāo)是(a,0),則KP=DL=4﹣a,QL=DK=3,則Q的坐標(biāo)是(4+3,4﹣3+a)即(7,﹣1+a),
把(7,﹣1+a)代入y= 得:7(﹣1+a)=12,
解得:a=,
則P的坐標(biāo)是(,0);
當(dāng)Q在D的左側(cè)(如圖2),且∠PDQ=90°時,作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,作DL⊥QR,于點L,
則△QDL≌△PDK,
則DK=DL=3,設(shè)P的坐標(biāo)是b,則PK=QL=4﹣b,則QR=4﹣b+3=7﹣b,OR=OK﹣DL=4﹣3=1,
則Q的坐標(biāo)是(1,7﹣b),代入y=得:b=﹣5,則P的坐標(biāo)是(﹣5,0);
總之,P的坐標(biāo)是(,0)或(﹣5,0).
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【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖②,若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時E點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有9名同學(xué)參加歌詠比賽,他們的預(yù)賽成績各不相同,現(xiàn)取其中前4名參加決賽,小紅同學(xué)在知道自己成績的情況下,要判斷自己能否進(jìn)入決賽,還需要知道這9名同學(xué)成績的
A.眾數(shù) B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.極差
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的切線,切點為D,CD與AB的延長線交于點C,∠A=30°,給出下面3個結(jié)論:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC,其中正確結(jié)論的個數(shù)( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】如圖,Rt△OA0A1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),∠OA0A1=90°,∠A0OA1=30°,以OA1為直角邊向外作Rt△OA1A2,使∠OA1A2=90°,∠A1OA2=30°,以OA2為直角邊向外作Rt△OA2A3,使∠OA2A3=90°,∠A2OA3=30°,按此方法進(jìn)行下去,得到Rt△OA3A4,Rt△OA4A5,…,Rt△OA2016A2017,若點A0(1,0),則點A2017的橫坐標(biāo)為______.
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【題目】(1)如圖,△ABC中,∠B=45°,AB=3 ,D是BC中點,tanC= .求BC的長與sin∠ADB.
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(0,4),B(3,0),連接AB,將△AOB沿過點B的直線折疊,使點A落在x軸上的點A′處,折痕所在的直線交y軸正半軸于點C,求直線BC的解析式.
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD,長AD=9cm,寬AB=3 cm,將其折疊,使點D與點B重合,那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別為_______和__________.
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【題目】某班墻上布置的“學(xué)習(xí)園地”是一個長方形區(qū)域,它的面積為3a2+9ab﹣6a,已知這個長方形“學(xué)習(xí)園地”的長為3a,則寬為__
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