Question

【題目】如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線y=﹣ x+b過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；

（3）連接OF、OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關系，并證明；

（4）若點P是x軸上的動點，點Q是（1）中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動點，且使得△PDQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=； （2）點F的坐標為（2，4）；（3）∠AOF=∠EOC， 理由見解析；（4）P的坐標是（ ，0）或（﹣5，0）．

【解析】試題分析：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y= ，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結(jié)論；

（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．由于點D在反比例函數(shù)的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線y=- x+b上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；

（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．設直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線．所以OG是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結(jié)論；

（4）分△PDQ的三個角分別是直角，三種情況進行討論，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，即可構(gòu)造全等的直角三角形，設出P的坐標，根據(jù)點在圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式即可求解．

試題解析：（1）設反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= ，

∵反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4），∴4= ，即k=12，

∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=；

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，

∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．

∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，

∴點D的縱坐標為3，即D（4，3），

∵點D在直線y=﹣ x+b上，

∴3=﹣×4+b，

解得：b=5，

∴直線DF為y=﹣x+5，

將y=4代入y=﹣x+5，得4=﹣x+5，

解得：x=2，

∴點F的坐標為（2，4）；

（3）∠AOF=∠EOC，

理由如下：在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）．

∴∠AOF=∠COG．

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC（ASA）．∴EG=HG．

設直線EG：y=mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴ ，解得 ，

∴直線EG：y=﹣2x+10．

令y=﹣2x+10=0，得x=5．

∴H（5，0），OH=5．

在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5．

∴OH=OE．

∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線．

∴OG是等腰三角形頂角的平分線．

∴∠EOG=∠GOH．

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=∠EOC；

（4）P的坐標是（ ，0）或（﹣5，0）．

當Q在D的右側(cè)（如圖1），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QL⊥DK，于點L．

則△DPK≌△QDK，

設P的坐標是（a，0），則KP=DL=4﹣a，QL=DK=3，則Q的坐標是（4+3，4﹣3+a）即（7，﹣1+a），

把（7，﹣1+a）代入y= 得：7（﹣1+a）=12，

解得：a=，

則P的坐標是（，0）；

當Q在D的左側(cè)（如圖2），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，

則△QDL≌△PDK，

則DK=DL=3，設P的坐標是b，則PK=QL=4﹣b，則QR=4﹣b+3=7﹣b，OR=OK﹣DL=4﹣3=1，

則Q的坐標是（1，7﹣b），代入y=得：b=﹣5，則P的坐標是（﹣5，0）；

總之，P的坐標是（，0）或（﹣5，0）．