Question

9．拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），頂點坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①當(dāng)x＞3時，y＜0；②3a+b＞0；③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；④3≤n≤4中，正確的是①③．

Answer 1

分析 ①由拋物線的對稱軸為直線x=1，一個交點A（-1，0），得到另一個交點坐標(biāo)，利用圖象即可對于選項①作出判斷；
②根據(jù)拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關(guān)系是b=-2a，將其代入（3a+b），并判定其符號；
③根據(jù)兩根之積$\frac{c}{a}$=-3，得到a=-$\frac{c}{3}$，然后根據(jù)c的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求a的取值范圍；
④把頂點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c，利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍．

解答 解：①∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），對稱軸直線是x=1，
∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（3，0），
∴根據(jù)圖示知，當(dāng)x＞3時，y＜0．
故①正確；
②根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則a＜0．
∵對稱軸x=-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②錯誤；
③∵拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
$\frac{c}{a}$=-3，則a=-$\frac{c}{3}$．
∵拋物線與y軸的交點在（0，2）、（0，3）之間（包含端點），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-$\frac{c}{3}$≤-$\frac{2}{3}$，即-1≤a≤-$\frac{2}{3}$．
故③正確；
④根據(jù)題意知，a=-$\frac{c}{3}$，-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a=$\frac{2}{3}$c，
∴n=a+b+c=$\frac{4}{3}$c．
∵2≤c≤3，
$\frac{8}{3}$≤$\frac{4}{3}$c≤4，$\frac{8}{3}$≤n≤4，．
故④錯誤．
綜上所述，正確的說法有①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．