Question

6．已知△ABC中，AB=AC，占M在線段AC上（不與C重合），BM延長線與過點C的直線交于D，連接AD，∠MAD=∠DBC，AE⊥BM于E．
（1）如圖1，當(dāng)M在線段AC上時，求證：BD-CD=2DE．
（2）如圖2，當(dāng)M在線段AC的延長線上時，∠ABC=45°，BD=7，AE=4，過點A作CD的垂線，垂足是F，求線段CF的長．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=ED，連接AF．AE⊥FD，得到AF=AD，∠AFD=∠ADF．再證明△BAF≌△CAD（SAS），得到BF=CD．所以BD-CD=BD-BF=DF=2DE．
（2）由已知條件可知△ABC是等腰直角三角形，證明A，B，C，D四點共圓，求出DE=AE=4，AB=AC=5，由AF⊥CD，又A，B，C，D四點共圓，得到∠ACF=60°，所以CF=2.5，．

解答 解：（1）如圖，在EB上截取EF=ED，連接AF．AE⊥FD，則AF=AD，∠AFD=∠ADF．

∵∠MAD=∠DBC，∠AMD=∠BMC．
∴∠BCM=∠ADM=∠AFD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCM=∠AFD，
即∠DBC+∠ABF=∠BAF+∠ABF．
∴∠DBC=∠BAF=∠DAC．
在△BAF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAF=∠DAC}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAD（SAS），
∴BF=CD．
∴BD-CD=BD-BF=DF=2DE．
（2）如圖2，

∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠MAD=∠DBC，
∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠ADE=∠ACB=45°，
∵∠AEB=∠AED=90°，
∴DE=AE=4，
∴BE=BD-DE=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=5，
∵AF⊥CD，
又∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠ACF=60°，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=2.5．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．