Question

如圖，頂點(diǎn)為A（－4,4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)（0,0），點(diǎn)P在該圖象上，OP交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，連接PN，ON.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（－6,3），求△OPN的面積；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

請(qǐng)解答下面問題：

       ① 求證：∠PNM＝∠ONM；

② 若△OPN為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

1）解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，

        把點(diǎn)（0,0）代入表達(dá)式，解得.  ………………………………………1分

        ∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，

即.   ……………………………………………………………2分

（2）解：設(shè)直線OP為，

將P（－6,3）代入，解得，

∴.

當(dāng)時(shí)，.

∴M（－4,2）.   ……………………………………………………………………3分

∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，

∴N（－4,6）.

∴MN＝4.

∴.  ……………………………………………………4分

（3）①證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

其中，

       設(shè)直線OP為，

       將P代入，解得.

∴.

當(dāng)時(shí)，.

∴M（－4,）.

∴AN＝AM＝＝.

設(shè)對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)B，作PC⊥l于點(diǎn)C，

則B（－4,0），C.

∴OB＝4，NB＝＝，PC＝，

NC＝＝.

則，.

∴.

又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，

∴△NCP∽△NBO.

∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分

② （）.