Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩個(gè)點(diǎn)A（x1，0）和點(diǎn)B（x2，0）與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根（x1＜x2），且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）

（1）求拋物線的解析式并畫(huà)出圖象

（2）x在什么范圍內(nèi)函數(shù)值y大于3且隨x的增大而增大．

（3）設(shè)（1）中的拋物線頂點(diǎn)為D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得DP+BP的和最小？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（2）0＜x＜1；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

【解析】試題分析: （1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可知，方程 的兩個(gè)根即為函數(shù)與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法列出函數(shù)解析式，將代入解析式，求出系數(shù)即可，根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可畫(huà)出函數(shù)圖象．
（2）根據(jù)圖象直接解答即可．
（3）作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則坐標(biāo)為 連接，設(shè)的解析式為求出函數(shù)解析式，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為

把點(diǎn)（2，3）代入得，

解得

故函數(shù)解析式為

當(dāng)時(shí)，

解得

故函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和點(diǎn)

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)與軸的交點(diǎn)為

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸為

將代入解析式得，

則函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 如圖：

（2）由圖可知， 時(shí)， 大于3且隨的增大而增大．

（3）作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則坐標(biāo)為連接，

設(shè)的解析式為

將（1，4），（﹣3，0）分別代入解析式得，

解得

則函數(shù)解析式為

當(dāng)時(shí)，

則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．