【題目】如圖1,拋物線M1y=﹣x2+4xx正半軸于點A,將拋物線M1先向右平移3個單位,再向上平移3個單位得到拋物線M2,M1M2交于點B,直線OBM2于點C

1)求拋物線M2的解析式;

2)點P是拋物線M1AB間的一點,作PQx軸交拋物線M2于點Q,連接CP,CQ.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時,使CPQ的面積最大,并求出最大值;

3)如圖2,將直線OB向下平移,交拋物線M1于點E,F,交拋物線M2于點G,H,則的值是否為定值,證明你的結(jié)論.

【答案】1y=﹣x2+10x18;(24,6;(3)定值1,見解析

【解析】

1)先將拋物線M1y=-x2+4x化為頂點式,由平移規(guī)律“上加下減,左加右減”可直接寫出拋物線M2的解析式;
2)分別求出點A,點B,點C的坐標(biāo),求出m的取值范圍,再用含m的代數(shù)式表示出△CPQ的面積,可用函數(shù)的思想求出其最大值;
3)設(shè)將直線OB向下平移k個單位長度得到直線EH,分別求出點E,F,GH的橫坐標(biāo),分別過G,Hy軸的平行線,過EFx軸的平行線,構(gòu)造相似三角形△GEM與△HFN,可通過相似三角形的性質(zhì)求出的值為1

解:(1)∵y=﹣x2+4x=﹣(x22+4,

∴將其先向右平移3個單位,再向上平移3個單位的解析式為:y=﹣(x52+7=﹣x2+10x18;

2)∵拋物線M1M2交于點B,

∴﹣x2+4x=﹣x2+10x18,

解得,x3,

B3,3),

將點B3,3)代入ykx,

得,k1,

yOBx,

∵拋物線M2與直線OB交于點C,

x=﹣x2+10x18

解得,x13x26,

C66),

∵點P的橫坐標(biāo)為m,

∴點Pm,﹣m2+4m),

Qm,﹣m2+10m18),

QP=﹣m2+10m18﹣(﹣m2+4m)=6m18,

SPQC6m18)(6m

=﹣3m2+27m54,

=﹣3m2+,

y=﹣m2+4m中,當(dāng)y0時,

x10,x24,

A4,0),

B3,3),

3≤m≤4,

∴在S=﹣3m2+中,根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知,當(dāng)m4時,PCQ有最大值,最大值為6;

3的值是定值1,理由如下:

設(shè)將直線OB向下平移k個單位長度得到直線EH

yEHxk,

∴令xk=﹣x2+4x,

解得,x1,x2

xF,xE,

xk=﹣x2+10x18,

解得,x1,x2,

xH,xG,

MExGxE3,

FNxHxF3,

分別過GHy軸的平行線,過E,Fx軸的平行線,交點分別為M,NQ,

則∠HFN=∠GEM,∠HNF=∠GME90°,

∴△GEM∽△HFN,

1,

的值是定值1

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【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,A、C兩點的坐標(biāo)分別為A10,0)、C0,3),直線BC相交于點D,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點.

1)求拋物線的解析式;

2)連接AD,試判斷△OAD的形狀,并說明理由.

3)若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點,對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N,問:是否存在點P,使得以點PO、M為頂點的三角形與△OAD相似?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線

1)若該拋物線與直線交于A,B兩點,點By軸上.求該拋物線的表達式及點A的坐標(biāo);

2)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點稱為橫整點.

①將(1)中的拋物線在A,B兩點之間的部分記作(不含A,B兩點),直接寫出上的橫整點的坐標(biāo);

②拋物線與直線交于CD兩點,將拋物線在CD兩點之間的部分記作(不含C,D兩點),若上恰有兩個橫整點,結(jié)合函數(shù)的圖象,求m的取值范圍.

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【題目】二次函數(shù)ymx2﹣(2m+1x+m5的圖象與x軸有兩個公共點.

1)求m的取值范圍;

2)若m取滿足條件的最小的整數(shù),當(dāng)nx1時,函數(shù)值y的取值范圍是﹣6y24,求n的值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于AB兩點,A點在原點的左側(cè),B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C0,﹣3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

1)求這個二次函數(shù)的表達式.

2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POPC,那么是否存在點P,使四邊形POPC為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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1)求證:直線AB是⊙O的切線;

2)試猜想BC,BD,BE三者之間的等量關(guān)系,并加以證明;

3)若tanCED,⊙O的半徑為3,求OA的長.

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