Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，點D為AC中點，點E為邊AB上一動點，點F為射線BC上一動點，且∠FDE＝90°．

（1）當DF∥AB時，連接EF，求∠DEF的余切值；

（2）當點F在線段BC上時，設AE＝x，BF＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6或7

【解析】

（1）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的中位線定理求出DF的長，利用等腰直角三角形的性質求出DE的長，由銳角三角函數的定義即可求出∠DEF的余切值；

（2）過點E作EH⊥AC于點H，由平行線的性質及等腰三角形的性質可求出HE、HD的表達式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根據相似三角形的性質可寫出y關于x的函數關系式；

（3）先分析出△DCE為等腰三角形時的兩種情況，再根據題意畫出圖形，當DC=DE時，證明∠AEC=90°，得到AE=CE，再根據等腰三角形三線合一得到DE⊥AC，從而得到F與C重合，進而得出BF的長；當ED=EC時，先判斷出點F的位置，再根據相似三角形的性質及判定定理即可解答．

（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，．

∵DF∥AB，，

∴∠AED=∠EDF=90°，，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴．

在Rt△DEF中，；

（2）過點E作EH⊥AC于點H．

∵BC⊥AC，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B．

∵∠B=∠A，

∴∠AEH=∠A，，

∴．

∵∠EDF=90°，

∴∠EDH+∠CDF=90°．

∵∠C=90°，

∴∠CDF+∠CFD=90°，

∴∠EDH=∠CFD．

∵∠EHD=∠C=90°，

∴△HDE∽△CFD，

∴，

∴，

∴；

（3）∵，CD=3，

∴CE＞CD，

∴若△DCE為等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC兩種可能．

①當DC=DE時，(如圖①)

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠DEC．

∵AD=CD，DE=DC，

∴AD=DE，

∴∠A=∠AED．

∵∠A+∠AED+∠DEC+∠DCE=180°，

∴∠AED+∠DEC=90°，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AB．

∵AC=BC，

∴AE=AB=，

∵∠A=45°，∠AEC=90°，

∴AE=CE．

∵AD=CD，

∴DE⊥AC，

∴此時F與C重合，

∴BF=6；

②當ED=EC時，點F在BC的延長線上，

過點E作EM⊥CD于點M，(如圖②)

∵ED=EC，EM⊥CD，

∴DM=CD=．

∵EM⊥CD，

∴△DME是直角三角形．

∵DE⊥DF，

∴∠EDM+∠FDC=90°．

∵∠FDC+∠F=90°，

∴∠F=∠EDM，

∴△DFC∽△EDM，

∴，

∴，

∴CF=1，

∴BF=7，

綜上所述：BF為6或7．