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【題目】已知:如圖①,在矩形中,,垂足是.是點關于的對稱點,連接

1)求的長;

2)若將沿著射線方向平移,設平移的距離為(平移距離指點沿方向所經過的線段長度).當點分別平移到線段上時,直接寫出相應的的值.

3)如圖②,將繞點順時針旋轉一個角,記旋轉中,在旋轉過程中,設所在的直線與直線交于點,與直線交于點.是否存在這樣的兩點,使為等腰三角形?若存在,求出此時的長;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2;(3)存在組符合條件的點、點,使為等腰三角形; 的長度分別為

【解析】

1)利用矩形性質、勾股定理及三角形面積公式求解;
2)依題意畫出圖形,如圖①-1所示.利用平移性質,確定圖形中的等腰三角形,分別求出m的值;
3)在旋轉過程中,等腰△DPQ4種情形,分別畫出圖形,對于各種情形分別進行計算即可.

1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
RtABD中,AB=3,AD=4,
由勾股定理得:BD=,
SABDBDAE=ABAD,
AE=
∵點F是點E關于AB的對稱點,
AF=AEBF=BE,
AEBD,
∴∠AEB=90°,
RtABE中,AB=3AE,

由勾股定理得:BE;

2)設平移中的三角形為△A′B′F′,如圖①-1所示:

由對稱點性質可知,∠1=2BF=BE

由平移性質可知,ABA′B′,∠4=1,BF=B′F′,

①當點F′落在AB上時,
ABA′B′,
∴∠3=4,

根據平移的性質知:∠1=4,

∴∠3=2,
BB′=B′F′,即;
②當點F′落在AD上時,
ABA′B′,ABAD
∴∠6=2,A′B′AD,
∵∠1=2,∠5=1,
∴∠5=6,
又知A′B′AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
B′D=B′F′,

BB′=BD-B′D=5-,即m;

3)存在.理由如下:

∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,

AEBD
∴∠AEB=90°,

2+ABD=90°,∠BAE+ABD=90°,

∴∠2=BAE

∵點F是點E關于AB的對稱點,
∴∠1=BAE,

∴∠1=2

在旋轉過程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如圖③-1所示,點Q落在BD延長線上,且PD=DQ,

則∠Q=DPQ
∴∠2=Q+DPQ=2Q,
∵∠1=3+Q,∠1=2,
∴∠3=Q
A′Q=A′B=3,
F′Q=F′A′+A′Q=

RtBF′Q中,由勾股定理得:BQ=,

DQ=BQ-BD=;

②如圖③-2所示,點Q落在BD上,且PQ=DQ

則∠2=P,
∵∠1=2,
∴∠1=P
BA′PD,
則此時點A′落在BC邊上.
∵∠3=2,
∴∠3=1,
BQ=A′Q
F′Q=F′A′-A′Q=-BQ,
RtBQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2,
即:,

解得:,

DQ= BD-BQ=5-

③如圖③-3所示,點Q落在BD上,且PD=DQ,

則∠3=4
∵∠2+3+4=180°,∠3=4,

∴∠4=90°-2
∵∠1=2,
∴∠4=90°-1,

∴∠A′QB=4=90°-1,

∴∠A′QB=A′BQ,
A′Q=A′B=3,
F′Q=A′Q-A′F′=3-

RtBF′Q中,由勾股定理得:BQ=,

DQ=BQ-BD=;

④如圖④-4所示,點Q落在BD上,且PQ=PD

則∠2=3
∵∠1=2,∠3=4,∠2=3,
∴∠1=4,
BQ=BA′=3,
DQ=BD-BQ=5-3=2

綜上所述,存在4組符合條件的點P、點Q,使△DPQ為等腰三角形,DQ的長度分別為:

練習冊系列答案
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