【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,P為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)C在⊙O上,連接PC,D為半徑OA上一點(diǎn),PD=PC,連接CD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,且E是的中點(diǎn).
(1)求證:PC是⊙O的切線(xiàn);
(2)求證:CDDE=2ODPD;
(3)若AB=8,CDDE=15,求PA的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)連接OC,OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E=∠OCE,求得∠E+∠ODE=90°,得到∠PCD=∠ODE,得到OC⊥PC,于是得到結(jié)論;
(2)連接AC,BE,BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,推出CDDE=AO2﹣OD2;由△ACP∽△CBP,得到=,
得到PD2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,于是得到結(jié)論;
(3)由(2)知,CDDE=AO2﹣OD2;把已知條件代入得到OD=1(負(fù)值舍去),求得AD=3,由(2)知,CDDE=2ODPD,于是得到結(jié)論.
(1)證明:連接OC,OE,
∵OC=OE,
∴∠E=∠OCE,
∵E是的中點(diǎn),
∴=,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠E+∠ODE=90°,
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC,
∵∠PDC=∠ODE,
∴∠PCD=∠ODE,
∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠E=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線(xiàn);
(2)證明:連接AC,BE,BC,
∵∠ACD=∠DBE,∠CAD=∠DEB,
∴△ACD∽△EBD,
∴,
∴CDDE=ADBD=(AO﹣OD)(AO+OD)=AO2﹣OD2;
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠PCO=90°,
∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACP=∠BCO,
∵∠BCO=∠CBO,
∴∠ACP=∠PBC,
∵∠P=∠P,
∴△ACP∽△CBP,
∴=
∴PC2=PBPA=(PD+DB)(PD﹣AD)=(PD+OD+OA)(PD+OD﹣OA)=(PD+OD)2﹣OA2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,
∵PC=PD,
∴PD2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,
∴OA2﹣OD2=2ODPD,
<>∴CDDE=2ODPD;(3)解:∵AB=8,
∴OA=4,
由(2)知,CDDE=AO2﹣OD2;
∵CDDE=15,
∴15=42﹣OD2,
∴OD=1(負(fù)值舍去),
∴AD=3,
由(2)知,CDDE=2ODPD,
∴PD==,
∴PA=PD﹣AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn),且,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的中線(xiàn),過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)CF∥AD.
(問(wèn)題)如圖①,過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)DG∥AB交直線(xiàn)CF于點(diǎn)E,連結(jié)AE,求證:AB=DE.
(探究)如圖②,在線(xiàn)段AD上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PG∥AB交直線(xiàn)CF于點(diǎn)E,連結(jié)AE、BP,探究四邊形ABPE是哪類(lèi)特殊四邊形并加以證明.
(應(yīng)用)在探究的條件下,設(shè)PE交AC于點(diǎn)M.若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),且△APM的面積為1,直接寫(xiě)出四邊形ABPE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為:“一切平面圖形中最美的是圓”.請(qǐng)研究如下美麗的圓.如圖,線(xiàn)段AB是⊙O的直徑,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C,使BC=OB,點(diǎn)E是線(xiàn)段OB的中點(diǎn),DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接CD,PE,PC.
(1)求證:CD是⊙O的切線(xiàn);
(2)小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值.回答這個(gè)確定的值是多少?并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),連接AE,將△ABE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1E,點(diǎn)B1在正方形ABCD內(nèi),連接AA1、BB1;
(1)求證:△AA1E∽△BB1E;
(2)延長(zhǎng)BB1分別交線(xiàn)段AA1,DC于點(diǎn)F、G,求證:AF=A1F;
(3)在(2)的條件下,若AB=4,BE=1,G是DC的中點(diǎn),求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】教育未來(lái)指數(shù)是為了評(píng)估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)對(duì)快速多變的未來(lái)社會(huì)方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對(duì)教育未來(lái)指數(shù)得分前35名的國(guó)家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.
a.教育未來(lái)指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,,,,);
b.教育未來(lái)指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5
c.35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖如下:
d.中國(guó)和中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分分別為32.9和68.5.
(以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《國(guó)際統(tǒng)計(jì)年鑒(2018)》和國(guó)際在線(xiàn)網(wǎng))
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分排名世界第______;
(2)在35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖中,包括中國(guó)香港在內(nèi)的少數(shù)幾個(gè)國(guó)家和地區(qū)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛線(xiàn)l的上方,請(qǐng)?jiān)趫D中用“○”畫(huà)出代表中國(guó)香港的點(diǎn);
(3)在教育未來(lái)指數(shù)得分比中國(guó)高的國(guó)家和地區(qū)中,人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬(wàn)美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))
(4)下列推斷合理的是__________.(只填序號(hào)即可)
①相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的教育未來(lái)指數(shù)得分還有一定差距,“十三五”規(guī)劃提出“教育優(yōu)先發(fā)展,教育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)”的任務(wù),進(jìn)一步提高國(guó)家教育水平;
②相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國(guó)提出“決勝全面建成小康社會(huì)”的奮斗目標(biāo),進(jìn)一步提高人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是“作一個(gè)角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:平面內(nèi)一點(diǎn)A.
求作:,使得.
作法:如圖,
(1)作射線(xiàn);
(2)在射線(xiàn)取一點(diǎn)O,以O為圓心,為半徑作圓,與射線(xiàn)相交于點(diǎn)C;
(3)以C為圓心,C為半徑作弧,與交于點(diǎn)D,作射線(xiàn).
則即為所求的角.
請(qǐng)回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。
A.π﹣2B.π﹣C.π﹣2D.π﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)).
(1)求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記線(xiàn)段及拋物線(xiàn)在兩點(diǎn)之間的部分圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)記為.
①當(dāng)時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫(xiě)出區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);
②如果區(qū)域內(nèi)有2個(gè)整點(diǎn),請(qǐng)求出的取值范圍.
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