【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,P為BA延長線上一點,點C在⊙O上,連接PC,D為半徑OA上一點,PD=PC,連接CD并延長交⊙O于點E,且E是的中點.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)求證:CDDE=2ODPD;
(3)若AB=8,CDDE=15,求PA的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)連接OC,OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E=∠OCE,求得∠E+∠ODE=90°,得到∠PCD=∠ODE,得到OC⊥PC,于是得到結(jié)論;
(2)連接AC,BE,BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,推出CDDE=AO2﹣OD2;由△ACP∽△CBP,得到=,
得到PD2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,于是得到結(jié)論;
(3)由(2)知,CDDE=AO2﹣OD2;把已知條件代入得到OD=1(負值舍去),求得AD=3,由(2)知,CDDE=2ODPD,于是得到結(jié)論.
(1)證明:連接OC,OE,
∵OC=OE,
∴∠E=∠OCE,
∵E是的中點,
∴=,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠E+∠ODE=90°,
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC,
∵∠PDC=∠ODE,
∴∠PCD=∠ODE,
∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠E=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線;
(2)證明:連接AC,BE,BC,
∵∠ACD=∠DBE,∠CAD=∠DEB,
∴△ACD∽△EBD,
∴,
∴CDDE=ADBD=(AO﹣OD)(AO+OD)=AO2﹣OD2;
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠PCO=90°,
∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACP=∠BCO,
∵∠BCO=∠CBO,
∴∠ACP=∠PBC,
∵∠P=∠P,
∴△ACP∽△CBP,
∴=
∴PC2=PBPA=(PD+DB)(PD﹣AD)=(PD+OD+OA)(PD+OD﹣OA)=(PD+OD)2﹣OA2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,
∵PC=PD,
∴PD2=PD2+2PDOD+OD2﹣OA2,
∴OA2﹣OD2=2ODPD,
<>∴CDDE=2ODPD;(3)解:∵AB=8,
∴OA=4,
由(2)知,CDDE=AO2﹣OD2;
∵CDDE=15,
∴15=42﹣OD2,
∴OD=1(負值舍去),
∴AD=3,
由(2)知,CDDE=2ODPD,
∴PD==,
∴PA=PD﹣AD=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與反比例函數(shù)的圖象交于點和點.
(1)求的值及點的坐標;
(2)若點是軸上一點,且,直接寫出點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的中線,過點C作直線CF∥AD.
(問題)如圖①,過點D作直線DG∥AB交直線CF于點E,連結(jié)AE,求證:AB=DE.
(探究)如圖②,在線段AD上任取一點P,過點P作直線PG∥AB交直線CF于點E,連結(jié)AE、BP,探究四邊形ABPE是哪類特殊四邊形并加以證明.
(應(yīng)用)在探究的條件下,設(shè)PE交AC于點M.若點P是AD的中點,且△APM的面積為1,直接寫出四邊形ABPE的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為:“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究如下美麗的圓.如圖,線段AB是⊙O的直徑,延長AB至點C,使BC=OB,點E是線段OB的中點,DE⊥AB交⊙O于點D,點P是⊙O上一動點(不與點A,B重合),連接CD,PE,PC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值.回答這個確定的值是多少?并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是BC邊上一點,連接AE,將△ABE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1E,點B1在正方形ABCD內(nèi),連接AA1、BB1;
(1)求證:△AA1E∽△BB1E;
(2)延長BB1分別交線段AA1,DC于點F、G,求證:AF=A1F;
(3)在(2)的條件下,若AB=4,BE=1,G是DC的中點,求AF的長.
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【題目】教育未來指數(shù)是為了評估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學生如何應(yīng)對快速多變的未來社會方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對教育未來指數(shù)得分前35名的國家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.
a.教育未來指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,,,,);
b.教育未來指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5
c.35個國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖如下:
d.中國和中國香港的教育未來指數(shù)得分分別為32.9和68.5.
(以上數(shù)據(jù)來源于《國際統(tǒng)計年鑒(2018)》和國際在線網(wǎng))
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)中國香港的教育未來指數(shù)得分排名世界第______;
(2)在35個國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖中,包括中國香港在內(nèi)的少數(shù)幾個國家和地區(qū)所對應(yīng)的點位于虛線l的上方,請在圖中用“○”畫出代表中國香港的點;
(3)在教育未來指數(shù)得分比中國高的國家和地區(qū)中,人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))
(4)下列推斷合理的是__________.(只填序號即可)
①相較于點所代表的國家和地區(qū),中國的教育未來指數(shù)得分還有一定差距,“十三五”規(guī)劃提出“教育優(yōu)先發(fā)展,教育強則國家強”的任務(wù),進一步提高國家教育水平;
②相較于點所代表的國家和地區(qū),中國的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國提出“決勝全面建成小康社會”的奮斗目標,進一步提高人均國內(nèi)生產(chǎn)總值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是“作一個角”的尺規(guī)作圖過程.
已知:平面內(nèi)一點A.
求作:,使得.
作法:如圖,
(1)作射線;
(2)在射線取一點O,以O為圓心,為半徑作圓,與射線相交于點C;
(3)以C為圓心,C為半徑作弧,與交于點D,作射線.
則即為所求的角.
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_________________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點A、B、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。
A.π﹣2B.π﹣C.π﹣2D.π﹣
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的頂點為,直線與拋物線交于點(點在點的左側(cè)).
(1)求點坐標;
(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記線段及拋物線在兩點之間的部分圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)記為.
①當時,結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù);
②如果區(qū)域內(nèi)有2個整點,請求出的取值范圍.
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