【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AB=3,若點P為△ABC內(nèi)一動點,且滿足∠PAB=∠ACP,則線段PB長度的最小值為_____.
【答案】
【解析】
由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=3,求出∠APC=120°,當PB⊥AC時,PB長度最小,設(shè)垂足為D,此時PA=PC,由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=CD=AC=,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°,求出PD=AD.tan30°=AD=,BD=AD=,即可得出答案.
解:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2,
∵∠PAB=∠ACP,
∴∠PAC+∠ACP=60°,
∴∠APC=120°,
∴點P的運動軌跡是,當O、P、B共線時,PB長度最小,設(shè)OB交AC于D,如圖所示:
此時PA=PC,OB⊥AC,
則AD=CD=AC=,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°,
∴PD=ADtan30°=×=,
BD=AD=,
∴PB=BD﹣PD=﹣=.
故答案為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A,B兩點(點B在點A的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求點A,B,C的坐標;
(2)求證:△ABC為直角三角形;
(3)如圖,動點E,F同時從點A出發(fā),其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當點F停止運動時,點E隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,連結(jié)EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.當點F在AC上時,是否存在某一時刻t,使得△DCO≌△BCO?(點D不與點B重合)若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了提高學(xué)生書寫漢字的能力,增強保護漢字的意識,某校舉辦了“漢字聽寫大賽”活動.經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽,這50名學(xué)生同時聽寫50個漢字,若每正確聽寫出一個漢字得1分,最終沒有學(xué)生得分低于25分,也沒有學(xué)生得滿分.根據(jù)測試成績繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(如圖).
請結(jié)合圖標完成下列各題:
(1)求表中a的值;
(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)若本次決賽的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N,若從3名女生和2名男生中分別抽取1人參加市里的比賽,試用列表法或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:
①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④9a﹣3b+c<0;⑤c﹣a>1.其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②B.①③④C.①②③④D.①②③④⑤
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【題目】如圖,等腰直角△OEF在坐標系中,有E(0,2),F(﹣2,0),將直角△OEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,且A在第一象限內(nèi),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A,E.且2a+3b+5=0.
(1)求拋物線的解析式.
(2)過ED的中點O'作O'B⊥OE于B,O'C⊥OD于C,求證:OBO'C為正方形.
(3)如果點P由E開始沿EA邊以每秒2厘米的速度向點A移動,同時點Q由點A沿AD邊以每秒1厘米的速度向點D移動,當點P移動到點A時,P,Q兩點同時停止,且過P作GP⊥AE,交DE于點G,設(shè)移動的開始后為t秒.
①若S=PQ2(厘米),試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍?
②當S取最小時,在拋物線上是否存在點R,使得以P,A,Q,R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】我們約定:體重在選定標準的%(包含)范圍之內(nèi)時都稱為“一般體重”.為了解某校七年級男生中具有“一般體重”的人數(shù),我們從該校七年級男生中隨機選出10名男生,測量出他們的體重(單位:kg),收集并整理得到如下統(tǒng)計表:
男生序號 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ |
體重(kg) | 45 | 62 | 55 | 58 | 67 | 80 | 53 | 65 | 60 | 55 |
根據(jù)以上表格信息解決如下問題:
(1)將這組數(shù)據(jù)的三個統(tǒng)計量:平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)填入下表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
(2)請你選擇其中一個統(tǒng)計量作為選定標準,說明選擇的理由.并按此選定標準找出這10名男生中具有“一般體重”的男生.
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【題目】移動通信公司建設(shè)的鋼架信號塔(如圖1),它的一個側(cè)面的示意圖(如圖2).CD是等腰三角形ABC底邊上的高,分別過點A、點B作兩腰的垂線段,垂足分別為B1,A1,再過A1,B1分別作兩腰的垂線段所得的垂足為B2,A2,用同樣的作法依次得到垂足B3,A3,….若AB為3米,sinα=,則水平鋼條A2B2的長度為( 。
A. 米B. 2米C. 米D. 米
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【題目】某文教用品商店欲購進兩種筆記本,用 元購進的種筆記本與用元購進的種筆記本的數(shù)量相同,每本種筆記本的進價比每本種筆記本的進價貴元,
(1)求兩種筆記本每本的進價分別為多少元?
(2)若該商店種筆記本每本售價元,種筆記本每本售價元,準備購進兩種筆記本共本,且這兩種筆記本全部售出后總獲利不少于元,則最多購進種筆記本多少本?.
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【題目】已知點A在x軸負半軸上,點B在y軸正半軸上,線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解,tan∠BAO=.
(1)求點A的坐標;
(2)點E在y軸負半軸上,直線EC⊥AB,交線段AB于點C,交x軸于點D,S△DOE=16.若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,求k的值;
(3)在(2)條件下,點M是DO中點,點N,P,Q在直線BD或y軸上,是否存在點P,使四邊形MNPQ是矩形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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