【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D在射線BC上(與B、C兩點不重合),以AD為邊作正方形ADEF,使點E與點B在直線AD的異側,射線BA與直線CF相交于點G.
(1)若點D在線段BC上,如圖(1),判斷:線段BC與線段CG的數量關系: ,位置關系: .
(2)如圖(2),①若點D在線段BC的延長線上,(1)中判斷線段BC與線段CG的數量關系與位置關系是否仍然成立,并說明理由;
②當G為CF中點,連接GE,若AB=,求線段GE的長.
【答案】(1) BC=CG,BC⊥CG (2) ①仍然成立 ②
【解析】分析:(1)根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°,由正方形的性質得到AD=AF,∠DAF=90°,由角的和差得到∠BAD=∠CAF,推出△BAD≌△CAF(SAS),根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°,BD=CF,證得BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,即可得到結論;
(2)①根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°,由正方形的性質得到AD=AF,∠DAF=90°,由角的和差得到∠BAD=∠CAF,推出△BAD≌△CAF(SAS),根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°,BD=CF,證得BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,即可得到結論;②與①同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG,根據已知條件得到BC=CG=FG=CD=2,如圖(2),過點A作AM⊥BD于M,根據勾股定理得到AD=,過點E作EN⊥FG于N,根據全等三角形的性質得到FG=AM=1,推出NE為FG的垂直平分線,即可得到結論.
詳解:(1)BC=CG,BC⊥CG.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.
∵四邊形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF,則在△BAD和△CAF中,,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴∠ACF=∠B=45°,BD=CF,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,∴BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,∴CD=GF,∴BD+CD=CF+GF,即BC=CG.
故答案為:BC=CG,BC⊥CG;
(2)①仍然成立
∵四邊形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF,則在△BAD和△CAF中,,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴∠ACF=∠B=45°,BD=CF,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,∴BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,∴CD=GF,∴BD+CD=CF+GF,即BC=CG;
②與①同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG.
∵AB=,G為CF中點,∴BC=CG=FG=CD=2,如圖(2),過點A作AM⊥BD于M,∴AM=1,MD=3,∴AD=,過點E作EN⊥FG于N.在△AMD與△FNE中,,∴△AMD≌△FNE,∴FN=AM=1,∴FG=2FN,∴NE為FG的垂直平分線,即GE=FE=AD=.
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【題目】 已知,如圖,點D是△ABC的邊AB的中點,四邊形BCED是平行四邊形.
(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;
(2)在△ABC中,若AC=BC,則四邊形ADCE是 ;(只寫結論,不需證明)
(3)在(2)的條件下,當AC⊥BC時,求證:四邊形ADCE是正方形.
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【題目】已知△ABC,分別以BC,AB,AC為邊作等邊三角形BCE,ACF,ABD
(1)若存在四邊形ADEF,判斷它的形狀,并說明理由.
(2)存在四邊形ADEF的條件下,請你給△ABC添個條件,使得四邊形ADEF成為矩形,并說明理由.
(3)當△ABC滿足什么條件時四邊形ADEF不存在.
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【題目】觀察下列各式:
=-1;
;
.
(1)根據前面各式的規(guī)律可得:
①.
②.
(2)請用上面的結論進行計算:
①(答案可含有冪的形式表示);
②若,求的值.
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=75°,BC=7,△ABC的面積為14,D為 BC邊上一動點(不與B,C重合),將△ABD和△ACD分別沿直線AB,AC翻折得到△ABE與△ACF,那么△AEF的面積最小值為___.
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【題目】如圖,點B、C在線段AD的異側,點E、F分別是線段AB、CD上的點.已知∠AEG=∠AGE,∠DCG=∠DGC.
(1) 求證:AB∥CD
(2) 若∠AGE+∠AHF=180°,且∠BFC-30°=2∠C,求∠B的度數
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【題目】一兒童服裝商店在銷售中發(fā)現:某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了迎接“六·一”兒童節(jié),商店決定采取適當的降價措施,擴大銷售量,增加盈利,盡快減少庫存.經市場調查發(fā)現:如果每件童裝降價1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元,那么每件童裝應降價多少元?
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【題目】如圖,在□ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,DF平分∠ADC交BC于點F.
【1】△ABE≌△CDF
【2】若BD⊥EF,則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形,請證明你的結論.
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