【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點AAE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=.下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②B到直線AE的距離為;③EBED;④SAPD+SAPB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結(jié)論的序號是

【答案】①③⑤

【解析】

利用同角的余角相等,易得EAB=∠PAD,再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等;

BBFAE,交AE的延長線于F,利用中的BEP=90°,利用勾股定理可求BE,結(jié)合AEP是等腰直角三角形,可證BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;

利用中的全等,可得APD=∠AEB,結(jié)合三角形的外角的性質(zhì),易得BEP=90°,即可證;

連接BD,求出ABD的面積,然后減去BDP的面積即可;

Rt△ABF中,利用勾股定理可求AB2,即是正方形的面積.

①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,

∴∠EAB=∠PAD

AE=AP,AB=AD,

APDAEB中,

,

∴△APD≌△AEB(SAS);

故此選項成立;

③∵△APD≌△AEB,

∴∠APD=∠AEB

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE

∴∠BEP=∠PAE=90°,

EBED;

故此選項成立;

BBFAE,交AE的延長線于F,

AE=AP,∠EAP=90°,

∴∠AEP=∠APE=45°,

∵③EBED,BFAF

∴∠FEB=∠FBE=45°,

BE===

BF=EF=,

故此選項不正確;

如圖,連接BD,在Rt△AEP中,

AE=AP=1,

EP=

PB=,

BE=,

∵△APD≌△AEB,

PD=BE=,

SABP+SADP=SABD-SBDP=S正方ABCD-×DP×BE=×(4+)-××=+

故此選項不正確.

⑤∵EF=BF=,AE=1,

Rt△ABF中,AB2=(AE+EF2+BF2=4+,

S正方形ABCD=AB2=4+,

故此選項正確.

故答案為:①③⑤.

練習冊系列答案
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