Question

9．矩形紙片ABCD，AB=7，BC=4，在矩形邊上有一點(diǎn)P，且DP=3．將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，折痕所在直線交矩形兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF=4$\sqrt{2}$或$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到四邊形PFBE是正方形，EF過點(diǎn)C，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果；如圖2當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，過E作EQ⊥AB于Q，根據(jù)勾股定理得到PB的長(zhǎng)，推出△ABP∽△EFQ，列比例式即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，
∵PD=3，CD=AB=7，
∴CP=4，
∵EF垂直平分PB，
∴四邊形PFBE是正方形，EF過點(diǎn)C，
∴EF=4$\sqrt{2}$；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，
過E作EQ⊥AB于Q，
∵PD=3，AD=4，
∴AP=1，
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1=∠2，
∵∠A=∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴$\frac{EF}{PB}$=$\frac{EQ}{AB}$，即$\frac{EF}{5\sqrt{2}}$=$\frac{4}{7}$
解得EF=$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．
綜上所述：EF長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$或$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理．