Question

14．如圖，在矩形ABCD中．AB=3，BC=4，沿EF折疊，折痕為EF，使C點(diǎn)落到A點(diǎn)處，點(diǎn)D落到G處．
（1）求證：AE=AF；
（2）求AE的長(zhǎng)；
（3）求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AEF=∠CEF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=AF；
（2）設(shè)BE=x，表示出CE=4-x，根據(jù)AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，得出AE即可；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）∵翻折，
∴∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的對(duì)邊AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）設(shè)BE=x，則CE=BC-BE=4-x，
∵沿EF翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AE=CE=4-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即3²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，
（3）如圖，

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，
∴EH=AB=3，
AH=BE=$\frac{7}{8}$，
∴FH=AF-AH=$\frac{25}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$，
在Rt△EFH中，EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列方程求出BE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．