Question

16．已知：點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若AP²+CP²=2PB²，
求證：A、P、C三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得BP=BP′，∠PBP′=90°，從而可得△BPP′是等腰直角三角形，進(jìn)而可得PP′²=2PB²，然后再由PA²+PC²=2PB²可得PC²+P′C²=PP′²，根據(jù)勾股定理逆定理可證明∠P′CP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠BP′C+∠BPC=180°，進(jìn)而可得∠BPC+∠APB=180°，從而可證明A、P、C三點(diǎn)共線．

解答 證明：將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，連接PP′．
∵BP=BP′，∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，
在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∴∠BPC+∠APB=180°，
∴A、P、C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理逆定理和勾股定理，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明∠BPC+∠APB=180°．