Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是

AB

上任意一點（P與點A、B不重合），連接AP、BP，過C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
（1）求證：△ACM≌△BCP；
（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）因為△ABC是等邊三角形，所以BC=AC，∠ACB=60°，再由CM∥BP得到∠PCM=∠BPC=60°，可判斷△PCM是等邊三角形，得到PC=MC，∠M=60°，易得∠PCB=∠ACM，然后利用“AAS“可判斷△ACM≌△BCP≌△ACM；
（2）利用（1）證得的兩三角形全等判定△PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可．

解答：（1）證明：∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠MAC=∠PBC，∠ACB+∠APB=180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB=180°，
∴∠M=∠ACB；
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC；而∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠M=∠BPC；
在△ACM與△BCP中，

∠MAC=∠PBC ∠M=∠BPC AC=BC

，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
（2）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP  AM=BP，
又∵∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=

3

2

3

，
∴S_梯形PBCM=

1

2

（PB+CM）×PH=

1

2

（2+3）×

3 3

2

=

15 3

4

．

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計算方法，是一道比較復(fù)雜的幾何綜合題．