【題目】如圖,正方形紙片ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合,展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G,連結(jié)GF,給出下列結(jié)論:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若S△OGF=1,則正方形ABCD的面積是6+4 ,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( 。
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
【解析】解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠GAD=∠ADO=45°,
由折疊的性質(zhì)可得:∠ADG= ∠ADO=22.5°,
故①正確.
∵由折疊的性質(zhì)可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,
∴AE=EF<BE,
∴AE< AB,∴ >2,
故②錯(cuò)誤.
∵∠AOB=90°,
∴AG=FG>OG,△AGD與△OGD同高,
∴S△AGD>S△OGD ,
故③錯(cuò)誤.
∵∠EFD=∠AOF=90°,
∴EF∥AC,
∴∠FEG=∠AGE,
∵∠AGE=∠FGE,
∴∠FEG=∠FGE,
∴EF=GF,
∵AE=EF,
∴AE=GF,
故④正確.
∵AE=EF=GF,AG=GF,
∴AE=EF=GF=AG,
∴四邊形AEFG是菱形,
∴∠OGF=∠OAB=45°,
∴EF=GF= OG,∴BE= EF= × OG=2OG.
故⑤正確.
∵四邊形AEFG是菱形,
∴AB∥GF,AB=GF.
∵∠BAO=45°,∠GOF=90°,
∴△OGF時(shí)等腰直角三角形.
∵S△OGF=1,
∴ OG2=1,解得OG= ,∴BE=2OG=2 ,GF= = =2,
∴AE=GF=2,
∴AB=BE+AE=2 +2,∴S正方形ABCD=AB2=(2 +2)2=12+8 ,故⑥錯(cuò)誤.
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是:①④⑤.
故選B.
①由四邊形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由折疊的性質(zhì),可求得∠ADG的度數(shù);
②由AE=EF<BE,可得AD>2AE;
③由AG=GF>OG,可得△AGD的面積>△OGD的面積;
④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì),易得△EFG是等腰三角形,即可證得AE=GF;
⑤易證得四邊形AEFG是菱形,由等腰直角三角形的性質(zhì),即可得BE=2OG;
⑥根據(jù)四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF,AB=GF,再由∠BAO=45°,∠GOF=90°可得出△OGF時(shí)等腰直角三角形,由S△OGF=1求出GF的長(zhǎng),進(jìn)而可得出BE及AE的長(zhǎng),利用正方形的面積公式可得出結(jié)論.此題考查的是四邊形綜合題,涉及到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),難度較大,注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)小立方體的六個(gè)面分別標(biāo)有字母A,B,C,D,E,F從三個(gè)不同方向看到的情形如圖所示.
(1) A對(duì)面的字母是 ,B對(duì)面的字母是 ,E對(duì)面的字母是 .(請(qǐng)直接填寫答案)
(2) 若A=2x-1,B=-3x+9.C=-7.D=1,E=4x+5,F=9,且字母A與它對(duì)面的字母表示的數(shù)互為相反數(shù),求B,E的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,AE=AF,BE與CF交于點(diǎn)D,則對(duì)于下列結(jié)論:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分線上.其中正確的是( 。
A. ① B. ② C. ①和② D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△APE中,∠PAE=90°,PO是△APE的角平分線,以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G.
(1)求證:直線PE是⊙O的切線;
(2)在圖2中,設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H,連結(jié)AH,點(diǎn)D是⊙O的劣弧 上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交PA于點(diǎn)B,交PE于點(diǎn)C,已知△PBC的周長(zhǎng)為4,tan∠EAH= ,求EH的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角三角形中,兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為a和b,斜邊長(zhǎng)度為c,則a2+b2=c2,即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,此結(jié)論稱為勾股定理.在一張紙上畫兩個(gè)同樣大小的直角三角形ABC和A′B′C′,并把它們拼成如圖所示的形狀 (點(diǎn)C和A′重合,且兩直角三角形的斜邊互相垂直).請(qǐng)利用拼得的圖形證明勾股定理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D為BC邊的中點(diǎn),以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切,則⊙O的半徑為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°,將一個(gè)含30°的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.(圖中∠OMN=30°,∠NOM=90°)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC,問(wèn)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,求t;
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 在東西方向的海岸線MN上有A,B兩港口,海上有一座小島P,漁民每天都乘輪船從A,B 兩港口沿AP,BP的路線去小島捕魚作業(yè).已知小島P在A港的北偏東60°方向,在B港的北偏西45°方向,小島P距海岸線MN的距離為30海里.
(1)求AP,BP的長(zhǎng)(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.2);
(2)甲、乙兩船分別從A,B兩港口同時(shí)出發(fā)去小島P捕魚作業(yè),甲船比乙船晚到小島24分鐘.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的結(jié)果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時(shí)?
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