【題目】如圖1,在△APE中,∠PAE=90°,PO是△APE的角平分線,以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G.
(1)求證:直線PE是⊙O的切線;
(2)在圖2中,設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H,連結(jié)AH,點(diǎn)D是⊙O的劣弧 上一點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線,交PA于點(diǎn)B,交PE于點(diǎn)C,已知△PBC的周長(zhǎng)為4,tan∠EAH= ,求EH的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:如圖1,
作OH⊥PE,
∴∠OHP=90°,
∵∠PAE=90,
∴∠OHP=∠OAP,
∵PO是∠APE的角平分線,
∴∠APO=∠EPO,
在△PAO和△PHO中
,
∴△PAO≌△PHO,
∴OH=OA,
∵OA是⊙O的半徑,
∴OH是⊙O的半徑,
∵OH⊥PE,
∴直線PE是⊙O的切線
(2)
解:如圖2,連接GH,
∵BC,PA,PB是⊙O的切線,
∴DB=DA,DC=CH,
∵△PBC的周長(zhǎng)為4,
∴PB+PC+BC=4,
∴PB+PC+DB+DC=4,
∴PB+AB+PC+CH=4,
∴PA+PH=4,
∵PA,PH是⊙O的切線,
∴PA=PH,
∴PA=2,
由(1)得,△PAO≌△PHO,
∴∠OFA=90°,
∴∠EAH+∠AOP=90°,
∵∠OAP=90°,
∴∠AOP+∠APO=90°,
∴∠APO=∠EAH,
∵tan∠EAH= ,
∴tan∠APO= = ,
∴OA= PA=1,
∴AG=2,
∵∠AHG=90°,
∵tan∠EAH= = ,
∵△EGH∽△EHA,
∴ = ,
∴EH=2EG,AE=2EH,
∴AE=4EG,
∵AE=EG+AG,
∴EG+AG=4EG,
∴EG= AG= ,
∵EH是⊙O的切線,EGA是⊙O的割線,
∴EH2=EG×EA=EG×(EG+AG)= ×( +2)= ,
∴EH=
【解析】(1)作OH⊥PE,由PO是∠APE的角平分線,得到∠APO=∠EPO,判斷出△PAO≌△PHO,得到OH=OA,用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是⊙O的切線;
。2)先利用切線的性質(zhì)和△PBC的周長(zhǎng)為4求出PA=2,再用三角函數(shù)求出OA,AG,然后用三角形相似,得到EH=2EG,AE=2EH,用勾股定理求出EG,最后用切割線定理即可.此題是切線的性質(zhì)和判定題,主要考查了切線的判定和性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,三角函數(shù),解本題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)求出OA.
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【題目】如圖(一), 為一條拉直的細(xì)線,A、B兩點(diǎn)在 上,且 : =1:3, : =3:5.若先固定B點(diǎn),將 折向 ,使得 重迭在 上,如圖(二),再?gòu)膱D(二) 的A點(diǎn)及與A點(diǎn)重迭處一起剪開,使得細(xì)線分成三段,則此三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比為何?( )
A.1:1:1
B.1:1:2
C.1:2:2
D.1:2:5
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【題目】已知整數(shù)a1,a2,a3,a4,…滿足下列條件:a1=0,a2=﹣|a1+1|,a3=﹣|a2+2|,a4=﹣|a3+3|,…,依此類推,則a2018的值為_____.
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【題目】如圖,點(diǎn)B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測(cè)量),點(diǎn)A,D在l異側(cè),測(cè)得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.
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【題目】(2017·河北遷安一模)如圖,在Rt△ABC中,直角邊AC=7 cm,BC=3 cm,CD為斜邊AB上的高,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿直線BC以2 cm/s的速度移動(dòng),過點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F.
(1)試說明:∠A=∠BCD;
(2)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間,CF=AB?并說明理由.
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【題目】如圖,點(diǎn)O為原點(diǎn),已知數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B所表示的數(shù)分別為﹣10和6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒
(1)當(dāng)t=2時(shí),求AP的中點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù);
(2)當(dāng)PQ=OA時(shí),求點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的數(shù).
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【題目】如圖,正方形紙片ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合,展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G,連結(jié)GF,給出下列結(jié)論:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若S△OGF=1,則正方形ABCD的面積是6+4 ,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( 。
A.2
B.3
C.4
D.5
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【題目】如圖,C為線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),D為線段BC上一點(diǎn),CD=2BD,E為線段AC上一點(diǎn),CE=2AE
(1)若AB=18,BC=21,求DE的長(zhǎng);
(2)若AB=a,求DE的長(zhǎng);(用含a的代數(shù)式表示)
(3)若圖中所有線段的長(zhǎng)度之和是線段AD長(zhǎng)度的7倍,則的值為 .
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