【題目】(感知)小亮遇到了這樣一道題:已知如圖在中,在上,在的延長上,交于點,且,求證:.
小亮仔細分析了題中的已知條件后,如圖②過點作交于,進而解決了該問題.(不需要證明)
(探究)如圖③,在四邊形中,,為邊的中點,與的延長線交于點,試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(應用)如圖③,在正方形中,為邊的中點,、分別為,邊上的點,若=1,=,∠=90°,則的長為 .
【答案】探究:;應用:.
【解析】
探究:分別延長DC、AE,交于點G,根據(jù)已知條件可以得到△ABE≌△GCE,由此得到AB=CG,由∠BAE=∠EAF,等量代換可證∠CGE=∠EAF,進而得到AF=GF,即可得出結(jié)論;
應用:分別延長FB、GE,交于點H,根據(jù)已知條件可以得到△AEG≌△BEH,由此得到AG=BH,GE=HE,然后利用三線合一的性質(zhì)得到FG=FH,即可求出GF.
解:探究:AB=AF+CF;
證明:如圖,分別延長DC、AE,交于點G,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠CGE,∠ABE=∠GCE,
∵BE=CE,
∴△ABE≌△GCE,
∴AB=CG,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠CGE=∠EAF,
∴AF=GF,
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF;
應用:如圖,分別延長FB、GE,交于點H,
∵∠A=∠EBH=90°,∠GEA=∠HEB,AE=BE,
∴△AEG≌△BEH,
∴AG=BH,GE=HE,
又∵∠GEF=90°,即FE⊥GH,
∴FG=FH,
∵FH=BF+BH=BF+AG=,
∴GF=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從如圖所示的二次函數(shù)()的圖象中,觀察得出了下面5條信息:①;②;③;④;⑤.你認為其中正確的信息有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應地任務:
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學家,在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.下面是該定理的證明過程(部分):
延長AI交⊙O于點D,過點I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN.
∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI.∴,∴①
如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF
∵DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°.
∵⊙I與AB相切于點F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB.
∴,∴②
任務:(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);
(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(4)應用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(0,3),B(1,0),連接BA,將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC,反比例函數(shù)y=的圖象G經(jīng)過點C.
(1)請直接寫出點C的坐標及k的值;
(2)若點P在圖象G上,且∠POB=∠BAO,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,若Q(0,m)為y軸正半軸上一點,過點Q作x軸的平行線與圖象G交于點M,與直線OP交于點N,若點M在點N左側(cè),結(jié)合圖象,直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,B在雙曲線y=(x>0)上,點C在雙曲線y=(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于( 。
A. B. 2 C. 4 D. 3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,tan∠CAB=,AD=AB,AH⊥BD于點H,連接CD交AH于點E,連接BE,BE=,則BD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象上部分點的坐標(x,y)的對應值如下表所示:
x | … | 0 | 4 | … | |
y | … | 0.37 | -1 | 0.37 | … |
則方程ax2+bx+1.37=0的根是( )
A.0或4B.或C.1或5D.無實根
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x﹣2與雙曲線y=(k≠0)相交于A,B兩點,且點A的橫坐標是3.
(1)求k的值;
(2)過點P(0,n)作直線,使直線與x軸平行,直線與直線y=x﹣2交于點M,與雙曲線y= (k≠0)交于點N,若點M在N右邊,求n的取值范圍.
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