Question

【題目】如圖①，在四邊形中，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）求證：當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，線段平分對(duì)角線？并求出此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好在的垂直平分線上？

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)t=3, ;(3) .

【解析】

（1）根據(jù)，求出DQ,AP的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解；

（2）根據(jù)題意得到DE=BE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可求出t的值，再根據(jù)勾股定理即可求解；

（3）分別過點(diǎn)、作，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，求出 的長(zhǎng)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到PD=PQ，故DE=PM，代入即可求出t的值.

（1）證明：∵，

∴當(dāng)秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，，

∴，當(dāng)時(shí)，，，

∴，

又∵，∴，

∴四邊形為平行四邊形.

（2）如圖①，設(shè)交于點(diǎn)，若平分對(duì)角線，則，

∵，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，解得，符合題意，

∴當(dāng)秒時(shí)，平分對(duì)角線，

此時(shí)，，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，，

∴，，∴，

由勾股定理，得，

∴四邊形的周長(zhǎng).

（3）如圖②，分別過點(diǎn)、作，，分別交于點(diǎn)、，連接、，

可得四邊形是矩形，，，，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∵點(diǎn)在的垂直平分線上，

∴，，四邊形是矩形，

∴，即，

解得，

則當(dāng)為時(shí)，點(diǎn)恰好在的垂直平分線上.