【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,直線BM⊥AB于點(diǎn)B,點(diǎn)C在⊙O上,分別連接BC,AC,且AC的延長線交BM于點(diǎn)D,CF為⊙O的切線交BM于點(diǎn)F.
(1)求證:CF=DF;
(2)連接OF,若AB=10,BC=6,求線段OF的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)OF=.
【解析】
(1)連接OC,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得∠1+∠3=90°,則可證明∠3=∠4,再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°,然后根據(jù)等角的余角相等得到∠BDC=∠5,從而根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=8,再證明△ABC∽△ABD,利用相似比得到AD=,然后證明OF為△ABD的中位線,從而根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OF的長.
(1)證明:連接OC,如圖,
∵CF為切線,
∴OC⊥CF,
∴∠1+∠3=90°,
∵BM⊥AB,
∴∠2+∠4=90°,
∵OC=OB,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠3+∠5=90°,∠4+∠BDC=90°,
∴∠BDC=∠5,
∴CF=DF;
(2)在Rt△ABC中,AC==8,
∵∠BAC=∠DAB,
∴△ABC∽△ABD,
∴,即,
∴AD=,
∵∠3=∠4,
∴FC=FB,
而FC=FD,
∴FD=FB,
而BO=AO,
∴OF為△ABD的中位線,
∴OF=AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某演唱會(huì)購買門票的方式有兩種
方式一:若單位贊助廣告費(fèi)10萬元,則該單位所購門票的價(jià)格為每張0.02萬元;(注方式一中總費(fèi)用=廣告費(fèi)用+門票費(fèi)用)
方式二:按如圖所示的購買門票方式.
設(shè)購買門票x張,總費(fèi)用為y萬元.
(1)求按方式一購買時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式
(2)若甲、乙兩個(gè)單位分采用方式一,方式二購買本場演唱會(huì)門共400張,且乙單位購買超過100張,兩單位共花費(fèi)27.2萬元,求甲、乙兩單位各購買門票多少張?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 y=ax2 -2ax+4(a<0) 交 x 軸于點(diǎn) A、B,與 y 軸交于點(diǎn) C,AB=6.
(1)如圖 1,求拋物線的解析式;
(2) 如圖 2,點(diǎn) R 為第一象限的拋物線上一點(diǎn),分別連接 RB、RC,設(shè)△RBC 的面積為 s,點(diǎn) R 的橫坐標(biāo)為 t,求 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,如圖 3,點(diǎn) D 在 x 軸的負(fù)半軸上,點(diǎn) F 在 y 軸的正半軸上,點(diǎn) E 為 OB 上一點(diǎn),點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)一點(diǎn),連接 PD、EF,PD 交 OC 于點(diǎn) G,DG=EF,PD⊥EF,連接 PE,∠PEF=2∠PDE,連接 PB、PC,過點(diǎn)R 作 RT⊥OB 于點(diǎn) T,交 PC 于點(diǎn) S,若點(diǎn) P 在 BT 的垂直平分線上,OB-TS=,求點(diǎn) R 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A(0,4)、B(2,0),點(diǎn)C、D分別是OA、AB的中點(diǎn),在射線CD上有一動(dòng)點(diǎn)P,若△ABP是直角三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,O)、C(3,0),點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn),直線BD為拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)D在x軸上,連接AB、BC.
⑴如圖1,若∠ABC=60°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______________;
⑵如圖2,若∠ABC=90°,AB與y軸交于點(diǎn)E,連接CE.
①求這條拋物線的解析式;
②點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)△PEC的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系武,并求出S的最大值;
③如圖3,連接OB,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD,若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程,為實(shí)數(shù),且,證明:
(1)這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=AB=6,△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在OM上運(yùn)動(dòng),△ABC的形狀始終保持不變,在運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離為整數(shù)的點(diǎn)有( 。﹤(gè).
A.5B.6C.7D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=FM
(2)當(dāng)AE=1時(shí),求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如圖①,點(diǎn)O在斜邊AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,與邊AC相切于點(diǎn)F.求證:∠1=∠2;
(2)在圖②中作⊙M,使它滿足以下條件:①圓心在邊AB上;②經(jīng)過點(diǎn)B;③與邊AC相切.(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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