【題目】如圖,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),得到△PDE,點(diǎn)D落在線段PQ上.
(1)求證:PQ∥AB;
(2)若點(diǎn)D在BAC的平分線上,求CP的長;
(3)若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T,且12≤T≤16,求x的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2)6(3)1≤x≤
【解析】試題分析:
(1)由已知條件易證,結(jié)合∠C=∠C,可證△PQC∽△BAC,,從而可得∠CPQ=∠B,就可得到PQ∥AB;
(2)連接AD,由AD平分∠BAC和PQ∥AB,易證AQ=DQ,再用含“”的式子表達(dá)出AQ和DQ列出方程可求得的值;
(3)由題意可知:點(diǎn)E可能在△ABC內(nèi)部,也可能在△ABC外部,還可能在AB邊上,先取點(diǎn)E在AB邊上這一特殊情況討論得到一個(gè)的值,再去討論另兩種情況;①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),利用折疊的性質(zhì)和PQ∥AB易證PB=PE=PC=,再由PC+PB=可解得,此時(shí)對(duì)應(yīng)的T=;然后再分點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部和外部進(jìn)行討論可得符合要求的的取值范圍.
試題解析:
(1)∵在Rt△ABC中,AB=15,BC=9,
∴AC=,
∵,
∴,
∵∠C=∠C,
∴△PQC∽△BAC,
∴∠CPQ=∠B,
∴PQ∥AB.
(2)連接AD,∵PQ∥AB,
∴∠ADQ=∠DAB.
∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,
∴∠DAQ=∠DAB,
∴∠ADQ=∠DAQ,
∴AQ=DQ.
在Rt△CPQ中,PQ=5x,
∵PD=PC=3x,
∴DQ=2x.
∵AQ=12﹣4x,
∴12﹣4x=2x,解得x=2,
∴CP=3x=6.
(3)當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),
∵PQ∥AB,
∴∠DPE=∠PEB.
∵∠CPQ=∠DPE,∠CPQ=∠B,
∴∠B=∠PEB,
∴PB=PE=5x,
∴3x+5x=9,解得x=.
①當(dāng)0<x<時(shí),點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部,T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x,此時(shí)0<T<;
②當(dāng)<x<3時(shí),點(diǎn)E在△ABC的外部,設(shè)PE交AB于點(diǎn)G,DE交AB于F,作GH⊥FQ,垂足為H,
∴HG=DF,FG=DH,Rt△PHG∽Rt△PDE,
∴,
∵PG=PB=9﹣3x,
∴,
∴GH= (9﹣3x),PH= (9﹣3x),
∴FG=DH=3x﹣ (9﹣3x),
∴T=PG+PD+DF+FG=(9﹣3x)+3x+ (9﹣3x)+[3x﹣ (9﹣3x)]=,
此時(shí), <T<18.
∴當(dāng)0<x<3時(shí),T隨x的增大而增大,
∴T=12時(shí),即12x=12,解得x=1;
T=16時(shí),即=16,解得x=.
∵12≤T≤16,
∴x的取值范圍是1≤x≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C(-3,0),點(diǎn)A、B分別在x軸,y軸的正半軸上,且滿足.
【1】求點(diǎn)A、B坐標(biāo)
【2】若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng),連接AP。設(shè)△ABP面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍
【3】在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。(本題滿分8分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,且AB =6,C是⊙O上一點(diǎn),D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線,與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F,連接AD.
(l)求證:AF⊥EF;
(2)填空:
①當(dāng)BE= 時(shí),點(diǎn)C是AF的中點(diǎn);
②當(dāng)BE= 時(shí),四邊形OBDC是菱形,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖是一個(gè)組合幾何體,右邊是它的兩種視圖,在右邊橫線上填寫出兩種視圖的名稱;
視圖 視圖
(2)根據(jù)兩種視圖中尺寸(單位:cm),計(jì)算這個(gè)組合幾何體的表面積.(π取3.14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本題滿分10分)如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=,點(diǎn)D為BA延長線上的一點(diǎn),且∠D=∠ACB,⊙O為△ABC的外接圓.
(1)求BC的長;
(2)求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果關(guān)于x的不等式(a+2)x>a+2的解集為x<1,那么a的取值范圍是( )
A. a>0B. a<0C. a>﹣2D. a<﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果CD⊥AB于D,自CD上任一點(diǎn)向AB作垂線,那么所畫垂線均與CD重合,這是因?yàn)?/span> .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2經(jīng)過平移得到拋物線y=x2﹣2x,其對(duì)稱軸與兩拋物線所圍成的陰影部分的面積是__________.
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