【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+cx軸交于A,B(1,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=x﹣2經(jīng)過A,C兩點,拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);

(2)在直線AC上方的拋物線上存在一點P,使△PAC的面積最大,請直接寫出P點坐標(biāo)及△PAC面積的最大值;

(3)y軸上是否存在一點G,使得GD+GB的值最。咳舸嬖,求出點G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2;D(,);(2)P(2,1);PAC的面積最大為4;(3)存在;G(0,).

【解析】

(1)利用一次函數(shù)是性質(zhì)求得點A、C的坐標(biāo),然后把點A、B、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式即可;將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式方程,可以直接得到答案;

(2)利用分割法求得PAC的面積為二次函數(shù)的形式,利用二次函數(shù)最值的求法進(jìn)行解答;

(3)利用軸對稱-最短路徑方法證得點G,結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得點G的坐標(biāo).

(1)x=0代入y=x﹣2中得:y=﹣2,

y=0代入y=x﹣2中得:x=4,

A(4,0),C(0,﹣2),

A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)分別代入y=ax2+bx+c,得,

解得

則該拋物線的解析式為:y=﹣x2+x﹣2,

y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2+

∴頂點D(,);

(2)在直線AC的上方拋物線上存在點P(2,1),使PAC的面積最大,最大值為4.理由如下:

如圖1,過點PPQy軸交ACQ,連接PC,PA.

設(shè)P(x,﹣x2+x﹣2),則Q(x,x﹣2).

PQ=﹣x2+x﹣2﹣(x﹣2)=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2.

又∵SPAC=SPQC+SPQA

=xPQ+(4﹣x)PQ

=2PQ,

SPAC=﹣(x﹣2)2+4.

∴當(dāng)x=2時,SPAC最大值為4,此時﹣x2+x﹣2=1,

∴在直線AC的上方拋物線上存在點P(2,1),使PAC的面積最大,最大值為4;

(3)存在點G(0,)使得GD+GB的值最。碛扇缦拢

如圖1,

作點B關(guān)于y軸的對稱點B′,連接B′Dy軸于點G,則B′(﹣1,0),

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b,

,解得:,

∴直線B′D的解析式為y=x+,

x=0代入,得y=

∴存在點G(0,)使得GD+GB的值最。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年,在新泰市美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中,甲、乙兩個工程隊分別承擔(dān)某處村級道路硬化和道路拓寬改造工程.己知道路硬化和道路拓寬改造工程的總里程數(shù)是86千米,其中道路硬化的里程數(shù)是道路拓寬里程數(shù)的2倍少1千米.

1)求道路硬化和道路拓寬里程數(shù)分別是多少千米;

2)甲、乙兩個工程隊同時開始施工,甲工程隊比乙工程隊平均每天多施工10米.由于工期需要,甲工程隊在完成所承擔(dān)的施工任務(wù)后,通過技術(shù)改進(jìn)使工作效率比原來提高了.設(shè)乙工程隊平均每天施工米,若甲、乙兩隊同時完成施工任務(wù),求乙工程隊平均每天施工的米數(shù)和施工的天數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等邊△ABC中,過AB,C三點在三角形內(nèi)分別作∠1=∠2=∠3,三個角的邊相交于D,EF,

1)你認(rèn)為△DEF是什么三角形?并證明你的結(jié)論;

2)當(dāng)∠1,∠2,∠3三個角同時逐漸增大仍保持相等時,△DEF會發(fā)生什么變化?試說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,且與軸相交于A、B兩點(B點在A點的右側(cè)),與軸交于C點.

(1)A點的坐標(biāo)是   ;B點坐標(biāo)是   ;

(2)直線BC的解析式是:   ;

(3)點P是直線BC上方的拋物線上的一動點(不與B、C重合),是否存在點P,使△PBC的面積最大.若存在,請求出△PBC的最大面積,若不存在,試說明理由;

(4)若點Mx軸上,點N在拋物線上,以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出點M點坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCABACAEDAEAD,∠EAD=∠BAC,ACBD交于點O

1)試確定∠ADC與∠AEB間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

2)若∠ACB65°,求∠BDC的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,ACBD相交于點O,點EOA的中點,連接BE并延長交AD于點F,已知SAEF=4,則下列結(jié)論:①;SBCE=36;SABE=12;④△AEFACD,其中一定正確的是( 。

A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,A,B,C三點在同一直線上,分別以AB,BCAB>BC)為邊,在直線AC的同側(cè)作等邊ΔABD和等邊ΔBCE,連接AEBD于點M,連接CDBE于點N,連接MN. 以下結(jié)論:①AE=DC,②MN//AB,③BDAE,④∠DPM=60°,⑤ΔBMN是等邊三角形.其中正確的是__________(把所有正確的序號都填上).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,.將向上翻折,使點落在上,記為點,折痕為,再將為對稱軸翻折至,連接

1)證明:

2)猜想四邊形的形狀并證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線經(jīng)過點A-3,4).

1)求b的值

2過點A軸的平行線交拋物線于另一點B,在直線AB上任取一點P,作點A關(guān)于直線OP的對稱點C;

①當(dāng)點C恰巧落在軸時,求直線OP的表達(dá)式;

②連結(jié)BC,求BC的最小值

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案