【題目】如圖,點I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,與BC相交于點E.
(1)求證:DI=DB;
(2)若AE=6cm,ED=4cm,求線段DI的長.
【答案】(1)見解析;(2)2cm.
【解析】
(1)要證明ID=BD,只要求得∠BID=∠IBD即可;
(2)根據(jù)相似三角形的判定得出△BDE∽△ABD,進而利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.
(1)證明:連接BI.
∵點I是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAI=∠CAI,∠ABI=∠CBI.
又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC,∠DIB=∠ABI+∠BAI,
∠DBC=∠DAC=∠BAI,
∴∠DBI=∠DIB,
∴DI=DB.
(2)∵∠DBC=∠DAC=∠BAI,∠ADB=∠BDA,
∴△BDE∽△ABD,
∴,
即BD2=DEAD=DE(AE+DE)=4×(6+4)=40,
DI=BD=(cm).
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,點D在線段BC上運動(D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于E.
(1)當(dāng)∠BDA=115°時,∠EDC= °,∠DEC= °;點D從B向C運動時,∠BDA逐漸變 (填“大”或“小”);
(2)當(dāng)DC等于多少時,△ABD≌△DCE,請說明理由;
(3)在點D的運動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請直接寫出∠BDA的度數(shù).若不可以,請說明理由.
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【題目】如圖A村和B村在一條大河CD的同側(cè),它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米,又知道CD的長為4千米.
(1)現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水.有兩種方案備選.
方案1:水廠建在C點,修自來水管道到A村,再到B 村(即AC+AB).(如圖)
方案2:作A點關(guān)于直線CD的對稱點,連接交CD 于M點,水廠建在M點處,分別向兩村修管道AM和BM. (即AM+BM) (如圖)
從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮,將選擇管道總長度較短的方案進行施工.請利用已有條件分別進行計算,判斷哪種方案更合適.
(2)有一艘快艇Q從這條河中駛過,當(dāng)快艇Q與CD中點G相距多遠時,△ABQ為等腰三角形?直接寫出答案,不要說明理由.
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【題目】△ABC中,AB=CB,AC=10,S△ABC=60,E為AB上一動點,連結(jié)CE,過A作AF⊥CE于F,連結(jié)BF,則BF的最小值是_____.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到點C,使DC=BD,連結(jié)AC交⊙O于點F.
(1)AB與AC的大小有什么關(guān)系?請說明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求:圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AB=10,,點E是點D關(guān)于AB的對稱點,M是AB上的一動點,下列結(jié)論:①∠BOE=60°;②∠CED=∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】某超市用元購進某種干果銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥元資金購進該種干果,但這次的進價比第一次的進價提高了,購進干果數(shù)量是第一次的倍還多千克.
該種干果的第一次進價是每千克多少元?
如果超市將這種干果全部按每千克元的價格出售,售完這種干果共盈利多少元?
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【題目】如圖,為線段上一動點(不與點,重合),在同側(cè)分別作等邊和等邊,與交于點,與交于點,與交于點,連接.下列五個結(jié)論:①;②;③;④DE=DP;⑤.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】如圖,一塊形如四邊形ABCD的草地中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且∠ABC=90°,要以AC、CD、DA為邊制作圍欄,問圍欄長多少米,草地面積多大?
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