Question

【題目】如圖A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米.

（1）現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水.有兩種方案備選.

方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來水管道到A村，再到B 村（即AC+AB）.（如圖）

方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，連接交CD 于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道AM和BM. （即AM+BM） （如圖）

從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進(jìn)行施工.請利用已有條件分別進(jìn)行計算，判斷哪種方案更合適.

（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，當(dāng)快艇Q與CD中點(diǎn)G相距多遠(yuǎn)時，△ABQ為等腰三角形？直接寫出答案，不要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）方案1更合適；（2）QG=時，△ABQ為等腰三角形.

【解析】

（1）分別求出兩種路線的長度進(jìn)行比較；（2）分類討論，然后解直角三角形.

（1）過A點(diǎn)作AE⊥BD于E，

∵BD=4，AC=1，

∴BE=3.

∵AE=CD=4，BE=3，

在△ABE中，根據(jù)勾股定理得：

AB=，

=5.

過A，作A，H⊥BD于H，

在直角三角形A，HB中，根據(jù)勾股定理得：

A，B=，

=，

=，

方案①AC+AB=1+5=6.

方案②AM+MB=A，B=.

∵6＜，

∴方案①路線短，比較合適.

（2）

過A點(diǎn)以AB為半徑作圓交CD于E和F點(diǎn)，

圖中由勾股定理求得EC=CF=2.所以QG=2-2或2＋2.

過B點(diǎn)為圓心以AB為半徑作圓，交CD于G、H.

由勾股定理可求得：GD=DH=3，所以QG=1或5.

做AB的垂直平分線交CD于Q，

求得：QG=.

綜上， QG=時，△ABQ為等腰三角形.