Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點M在BC上，連接AM，作∠AMN=∠AMB，點N在直線AD上，MN交CD于點E  
（1）求證：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）當(dāng)M為BC中點時，求ME的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可；
（2）作NH⊥AM于H，證明△NAH∽△AMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AN•BM=$\frac{1}{2}$AM²，根據(jù)勾股定理計算即可；
（3）由（2）的結(jié)論，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求出CE，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM=∠BMA，又∠AMN=∠AMB，
∴∠AMN=∠NAM，
∴AN=MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）解：作NH⊥AM于H，
∵AN=MN，NH⊥AM，
∴AH=$\frac{1}{2}$AM，
∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AH}{BM}$，
∴AN•BM=AH•AM=$\frac{1}{2}$AM²，
在Rt△AMB中，AM²=AB²+BM²=9+BM²，
∵BM≤2，
∴9+BM²≤13，
∴AN•BM≤$\frac{13}{2}$，
即當(dāng)BM=2時，BM•AN的最大值為$\frac{13}{2}$；
（3）解：∵M為BC中點，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
由（2）得，AN•BM=$\frac{1}{2}$AM²，
∵AM²=3²+1²=10，
∴AN=5，
∴DN=5-2=3，
設(shè)DE=x，則CE=3-x，
∵AN∥BC，
∴$\frac{DN}{CM}$=$\frac{DE}{CE}$，即$\frac{3}{1}$=$\frac{x}{3-x}$，
解得，x=$\frac{9}{4}$，即DE=$\frac{9}{4}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$，
∴ME=$\sqrt{C{E}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的正確運用．