Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（2m，m），沿著OB翻折△OAB，設(shè)翻折后的點A的應(yīng)對點為點D，OD與BC交于點E，點M在y軸上，直線ME與x軸相交于點F，且∠EMC與∠MOB互余，經(jīng)過點A，C，D的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
（1）求點E的坐標（用含m的式子表示）；
（2）若點M的坐標為（0，5），求該拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段CB下方的拋物線上是否存在點P，使△CEP與△BDE的面積比為3：5？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)CE=x則OE=EB=2m-x，在RT△OCE中，由OE²=OC²+CE²求出x，即可求出點E坐標．
（2）由△MOG∽△BOC得$\frac{MG}{BC}=\frac{OG}{OC}$即$\frac{MG}{OG}=\frac{BC}{OC}$=2，設(shè)OG=a，則MG=2a，在RT△MOG中，利用勾股定理求出a，可以解決A、C兩點坐標，作DN⊥BC于N，因為∠CEO=∠DEN，∠OCE=∠DNE=90°，所以△OCE∽△DNE所以$\frac{DN}{OC}=\frac{EN}{CE}$=$\frac{DE}{EO}$，由此求出DN，EN即可知道點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
（3）首先證明S_△BDE=S_△ECO=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，設(shè)P（n，-$\frac{5}{8}$n²+2n+2），根據(jù)三角形面積公式列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵△OBD是由△OBA翻折，
∴∠AOB=∠BOD，
∵四邊形OABC是矩形，B（2m，m）
∴OA=BC=2m，OC=AB=m，OC∥AB，BC∥OA，
∴∠AOB=∠CBO，
∴∠OBC=∠EOB，
∴OE=EB，設(shè)CE=x則OE=EB=2m-x，
在RT△OCE中，∵OE²=OC²+CE²，
∴（2m-x）²=m²+x²，
∴x=$\frac{3}{4}$m，
∴點E（$\frac{3}{4}$m，m）．
（2）∵∠EMC+∠MOB=90°，
∴∠MGO=90°，
∵EO=EB，
∴OG=GB，
∵∠MOG=∠COB，∠MGO=∠OCB=90°，
∴△MOG∽△BOC，
∴$\frac{MG}{BC}=\frac{OG}{OC}$，
∴$\frac{MG}{OG}=\frac{BC}{OC}$=2，設(shè)OG=a，則MG=2a，
在RT△MOG中，∵OM=5，
∴a²+（2a）²=5²，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{5}$
∴OB=2$\sqrt{5}$，
在RT△AOB中，m²+（2m）²=20，
∵m＞0，
∴m=2，
∴A（4，0），C（0，2），E（$\frac{3}{2}$，2），作DN⊥BC于N，
∵∠CEO=∠DEN，∠OCE=∠DNE=90°，
∴△OCE∽△DNE，
∴$\frac{DN}{OC}=\frac{EN}{CE}$=$\frac{DE}{EO}$
∴$\frac{DN}{2}=\frac{EN}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$，
∴DN=$\frac{6}{5}$，EN=$\frac{9}{10}$，
∴點D（$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A，C，D，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+4b+c=0}\\{\frac{144}{25}a+\frac{12}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{8}}\\{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)為y=-$\frac{5}{8}$x²+2x+2．
（3）∵S_△BCO=S_△BOD，
∴S_△BDE=S_△ECO=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$．
設(shè)P（n，-$\frac{5}{8}$n²+2n+2），由題意：$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×[2-（-$\frac{5}{8}$n²+2n+2）]=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{2}$，
解得：n=$\frac{8±\sqrt{7}}{5}$，
∴點P坐標為（$\frac{8+4\sqrt{7}}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（$\frac{8-4\sqrt{7}}{5}$，$\frac{4}{5}$）

點評 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是求出點A、C、D的坐標，屬于中考壓軸題．