Question

17．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG．
（1）連接GD，若BE=1，試求DG的長(zhǎng)；
（2）連接FC，求證：∠FCN=45°；
（3）請(qǐng)問(wèn)在AB邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據(jù)“SAS”證得△ADG≌△ABE，即可得出DG的長(zhǎng)；
（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得證．
（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個(gè)三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證．

解答 （1）解：如圖1，連接DG
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴BE=DG=1；

（2）證明：如圖2，過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△EHF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠EHF}\\{∠BAE=∠HEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，
∴BE+EC=EC+CH，
∴CH=BE=FH，
∴∠FCN=45°；

（3）解：如圖3，在AB上取AQ=BE，連接QD，
在△DAQ和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAQ=∠ABE}\\{AQ=BE}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△ABE（SAS），
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，
∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，
∴四邊形DQEF是平行四邊形．
∴在AB邊上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．