Question

1．在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，且BD=6，CD=9，在AD上取一點E使BE=BD，射線BE交AC于F，在線段FC上取一點G使GF：FA=1：8，連接BG，則線段BG的長為$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 過D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AB=AH，BD=DH=6，推出△ABD≌△AHD，得到∠2=∠3，證得BF∥DH，BF⊥AC，根據(jù)勾股定理得到CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，設(shè)AB=AH=m，由勾股定理列方程求得m=6$\sqrt{5}$，由于△CDH∽△BAF，得到$\frac{AF}{DH}=\frac{AB}{DC}=\frac{BF}{CH}$，求得AF=4$\sqrt{5}$，BF=10，GF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：過D作DH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴AB=AH，BD=DH=6，
在△ABD與△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠DAH}\\{∠ABD=∠AHD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AHD，
∴∠2=∠3，
∵BE=BD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BF∥DH，BF⊥AC，
∴CH=$\sqrt{D{C}^{2}-D{H}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
設(shè)AB=AH=m，
∴（m+3$\sqrt{5}$）²=m²+（6+9）²，
∴m=6$\sqrt{5}$，
∵△CDH∽△BAF，
∴$\frac{AF}{DH}=\frac{AB}{DC}=\frac{BF}{CH}$，
∴AF=4$\sqrt{5}$，BF=10
，∵$\frac{GF}{FA}=\frac{1}{8}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BG=$\sqrt{B{F}^{2}+G{F}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．