Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平分，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．

求證：是的切線；

若的面積的面積，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連結(jié)OP，如圖，由BP平分∠ABC得∠CBP=∠OBP，由OB=OP得∠OBP=∠OPB，則∠CBP=∠OPB，根據(jù)平行線的判定得OP∥BC，則利用平行線的性質(zhì)得到∠APO=∠C=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形面積公式由△ABP的面積-△BPC的面積=2可得BC（PA-1）=4，即BC=，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可推出，則AB=PABC，接著利用勾股定理有AB2=AC2+BC2，所以PA2BC2=（AP+1）2+BC2，移項(xiàng)變形得到（AP+1）2=BC2（PA2-1），所以PA+1=BC2（PA-1），然后把BC=代入得到關(guān)于PA的方程，然后解方程即可.

證明：連結(jié)，如圖，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

解：∵的面積的面積，，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

而，

∴，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．