【題目】 如圖,AB是⊙O的直徑,點E為線段OB上一點(不與O、B重合),作EC⊥OB,交⊙O于點C,作直徑CD,過點C的切線交DB的延長線于點P,作AF⊥PC于點F,連接CB.
(1)求證:AC平分∠FAB;
(2)求證:BC2=CECP;
(3)若,⊙O的面積為12π,求PF的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)7
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質得到OC⊥CP,證明OC∥AF,根據(jù)平行線的性質、等腰三角形的性質證明;
(2)根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°,證明△CEB∽△CBP,根據(jù)相似三角形的性質證明結論;
(3)設CE=3x,根據(jù)題意用x表示出CP、CB,根據(jù)相似三角形的性質列出方程,解方程求出x,根據(jù)角平分線的性質得到CF=CE,結合圖形計算,得到答案.
(1)證明:∵CP是⊙O的切線,
∴OC⊥CP,
∵AF⊥PC,
∴OC∥AF,
∴∠FAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠FAC=∠OAC,即AC平分∠FAB;
(2)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,即∠CAB+∠ABC=90°,
∵EC⊥OB,
∴∠ECB+∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ECB,
∵CP是⊙O的切線,
∴∠CAB=∠BCP,
∴∠ECB=∠BCP,
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠CBD=90°,
∴∠CEB=∠CBP,又∠ECB=∠BCP,
∴△CEB∽△CBP,
∴=,即BC2=CECP;
(3)解:設CE=3x,
∵,
∴CP=4x,
∵BC2=CECP,
∴BC=2x,
由勾股定理得,BE==x,
∵⊙O的面積為12π,
∴⊙O的半徑為2,即AB=4,
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴BC2=BEAB,即(2x)2=x4,
解得,x=1,
則CE=3,CP=4,
∵AC平分∠FAB,AF⊥PC,EC⊥OB,
∴CF=CE=3,
∴PF=CF+CP=7.
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【題目】如圖(1),在中,,點分別是邊的中點,連接.
(1)如圖①,求的值;
(2)將繞點順時針旋轉到如圖(2)的位置時,的大小是否發(fā)生變化,若不變化,請說明理由;若發(fā)生變化,請求出它的值;
(3)將繞點順時針旋轉到直線的下方,且在同一直線上時,如圖(3),求線段的長.
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【題目】在一場籃球比賽中,一名球員在關鍵時刻投出一球,已知球出手時離地面高2米,與籃圈中心的水平距離為7米,當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米,已知籃球運行的軌跡為拋物線,籃圈中心距離地面3.19米.
(1)以地面為x軸,籃球出手時垂直地面所在直線為y軸建立平面直角坐標系,求籃球運行的拋物線軌跡的解析式;
(2)通過計算,判斷這個球員能否投中?
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【題目】如圖,利用一面墻(墻的長度不超過45米),用80米長的籬笆圍一個矩形場地.
(1)設所圍矩形ABCD的邊AB為x米,則邊BC= 米;
(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為750米2.
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【題目】(已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結論:①abc>0;②2a+b>0;③b2﹣4ac>0;④a﹣b+c>0,其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】下圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當水面寬4 m時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2 m,當水面下降1 m時,水面的寬度為_____m.
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【題目】一個滑道由滑坡(AB段)和緩沖帶(BC段)組成,如圖所示,滑雪者在滑坡上滑行的距離y(單位:m)和滑行時間t1(單位:s)滿足二次函數(shù)關系,并測得相關數(shù)據(jù):
滑行時間t1/s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
滑行距離y1/s | 0 | 4.5 | 14 | 28.5 | 48 |
滑雪者在緩沖帶上滑行的距離y2(單位:m)和在緩沖帶上滑行時間t2(單位:s)滿足:y2=52t2﹣2t22,滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶BC上停止,一共用了23s,則滑坡AB的長度( 。┟
A.270B.280C.375D.450
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【題目】如圖,點是直徑上的一點,過作直線,分別交于,兩點,連接,并將線段繞點逆時針旋轉得到,連接,分別交和于,,連接.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若點在直徑上運動(不與點,重合),其它條件不變,請問是否為定值?若是,請求出其值;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(6,0),B(6,3),畫出△ABO的所有以原點O為位似中心的△CDO,且△CDO與△ABO的相似比為1:3,并寫出C、D的坐標.
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