一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)如圖,將紙片沿CE對(duì)折,使點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)中,設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P,如果點(diǎn)B、P在拋物線y=x2+bx+c上,求b、c的值;
(3)如果將矩形紙片沿某直線l對(duì)折,使點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處,且BF與l的交點(diǎn)Q恰好落在(2)的拋物線上.除了上述的點(diǎn)D外,這樣的點(diǎn)F是否存在?如果存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)OD=,
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0);

(2)由折疊知,CE垂直平分BD,P是BD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作OA的平行線,交OC于點(diǎn)H,則PH是梯形ODBC的中位線,


即P(4,2);
又∵點(diǎn)B(5,4)和點(diǎn)P(4,2)在拋物線y=x2+bx+c上,
,
解得b=-7,c=14;

(3)由(2)知,拋物線的解析式為y=x2-7x+14,
假設(shè)點(diǎn)F存在,
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí),設(shè)F(m,0),
則BF與直線l的交點(diǎn)Q的為,
代入拋物線的解析式,解得:m=1或m=3,
即所求坐標(biāo)為F(1,0)或F(3,0)(怒為點(diǎn)D);
當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí),設(shè)F(0,n),則,
代入拋物線解析式,解得
即所求坐標(biāo)為
分析:(1)由對(duì)折可知BC=CD=5,運(yùn)用勾股定理即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)由圖形的對(duì)稱性和梯形的中位線定理求得P點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求得解析式即可;
(3)利用(2)中的求法,假設(shè)點(diǎn)F分別落在x、y軸上,進(jìn)一步利用圖形的對(duì)稱性表示出點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式解決問(wèn)題.
點(diǎn)評(píng):此題考查利用勾股定理,圖形的對(duì)稱性,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及梯形的中位線等知識(shí)解決問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(10,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合).如圖②,將△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E,將△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直線DG,DF重合.
(1)圖①中,若△COD翻折后點(diǎn)F落在OA邊上,求直線DE的解析式;
(2)設(shè)(1)中所求直線DE與x軸交于點(diǎn)M,請(qǐng)你猜想過(guò)點(diǎn)M、C且關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線與直線DE的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),在圖①的圖形中,通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想;
(3)圖②中,設(shè)E(10,b),求b的最小值.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,有一張矩形紙片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合).現(xiàn)將△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E,將△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直線PD、PF重合.
(1)設(shè)P(x,0),E(0,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(2)如圖2,若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上,求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的情況下,在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖一,平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(10,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合),現(xiàn)將△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E,將△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直線DG、DF重合.
(1)如圖二,若翻折后點(diǎn)F落在OA邊上,求直線DE的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)D(a,6),E(10,b),求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并求b的最小值;
(3)一般地,請(qǐng)你猜想直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),在圖二的情形中通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想;如果直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6始終有公共點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D一中作出這樣的公共點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
①如圖,將紙片沿CE對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求直線EC解析式;
②在①中,設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P,若點(diǎn)P,B在拋物線y=x2+bx+c上,求b,c的值;
③若將紙片沿直線l對(duì)折,點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處,l與BF的交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)Q在②的拋物線上,求l的解析式.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,有一張矩形紙片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合).現(xiàn)將△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E,將△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直線PD、PF重合.
(Ⅰ)求證:△POE∽△BAP;
(Ⅱ)設(shè)P(x,0),E(0,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(Ⅲ)如圖2,若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上,求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅳ)在(Ⅲ)的情況下,在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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