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如圖1,在平面直角坐標系中,有一張矩形紙片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合).現將△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC邊上選取適當的點E,將△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直線PD、PF重合.
(Ⅰ)求證:△POE∽△BAP;
(Ⅱ)設P(x,0),E(0,y),求y關于x的函數關系式,并求y的最大值;
(Ⅲ)如圖2,若翻折后點D落在BC邊上,求過點P、B、E的拋物線的函數關系式;
(Ⅳ)在(Ⅲ)的情況下,在該拋物線上是否存在點Q,使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形?若不存在,說明理由;若存在,求出點Q的坐標.
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分析:(Ⅰ)由翻折得到:△OPE與△FPE,△ABP與△DBP全等,進而得到以P為頂點的四個小角中,∠OPE與∠FPE,∠APB與∠DPB相等,即可得到∠OPE+∠APB為直角,而∠OEP+∠OPE也為直角,所以∠OPE=∠APB,再加上直角等于直角,得到所證的兩三角形相似;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的兩三角形相似,得到對應邊成比例即可列出y與x的二次函數關系式,由x的范圍,考慮頂點取到,所以當x等于頂點橫坐標時,y的最大值為頂點縱坐標,根據頂點坐標公式求出y的最大值即可;
(Ⅲ)根據題意可知:△EOP和△PAB都為等腰直角三角形,求出OP=OE=1,AP=AB=3,得到點P,點B,點E三點坐標,設出拋物線的一般式,把三點坐標代入得到關于a,b,c的三元一次方程組,求出方程組的解即可得到a,b,c的值,確定出拋物線的解析式;
(Ⅳ)分點E和點P分別為直角頂點兩種情況考慮:當點P位直角頂點時,Q與B重合,所以B的坐標即為Q的坐標;當E為直角頂點時,先根據P和B的坐標求出直線PB的方程,由直線PB與直線EQ平行,得到k值相同,又根據E的坐標,寫出直線EQ的方程,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出Q的坐標.
解答:(Ⅰ)證明:由翻折可知:△OPE≌△FPE,△ABP≌△DBP,
∴∠OPE=∠FPE,∠APB=∠DPB,又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°,
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°,又∠OPE+∠OEP=90°,
∴∠OEP=∠APB,又∠POE=∠BAP=90°,
∴△POE∽△BAP;

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:△POE∽△BAP,
OP
AB
=
OE
AP
,又OP=x,OE=y,故PA=4-x,AB=3,
x
3
=
y
4-x
,化簡得:y=
1
3
x(4-x)=-
1
3
x2+
4
3
x,且0<x<4,
∴當x=-
b
2a
=-
4
3
2×(-
1
3
)
=2時,ymax=
4ac-b2
4a
=
4×(-
1
3
)×0-(
4
3
)
2
4×(-
1
3
)
=
4
3
;

(Ⅲ)解:根據題意可知:△EOP和△PAB都為等腰直角三角形,且OP=OE=1,AP=AB=3,
則E(0,1),P(1,0),B(4,3),設過三點的拋物線解析式為:y=ax2+bx+c,
把三點坐標代入得:
c=1①
a+b+c=0②
16a+4b+c=3③

③-②×4得:12a-3c=3,把c=1代入解得:a=
1
2
,
把a=
1
2
,c=1代入②解得:b=-
3
2
,故y=
1
2
x2-
3
2
x+1;
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(Ⅳ)解:存在.
當點P為△EPQ的直角頂點時,由EP⊥PB,此時Q與B重合,可得Q1(4,3);
當點E為△EPQ的直角頂點時,過點E作EQ2⊥EP,交拋物線與點Q2,
由EQ2∥PB,設直線PB的方程為:y=kx+b,
把P(1,0)和B(4,3)代入得:
k+b=0①
4k+b=3②
,
②-①得:3k=3,解得:k=1,把k=1代入①得:b=-1,
所以直線PB的方程為:y=x-1,則直線EQ2的斜率為1,
則直線EQ2的方程為:y=x+m,把E(0,1)代入得:m=1,即直線EQ2的方程為:y=x+1,
與拋物線解析式聯(lián)立消去y得:x+1=
1
2
x2-
3
2
x+1,即x(x-5)=0,解得:x=0或x=5,
把x=5代入直線EQ2方程y=x+1得:y=6,故Q2(5,6),
綜上,滿足題意的Q點的坐標為(4,3)或(5,6).
點評:本題要求學生掌握證明相似的方法:兩對對應角相等的兩三角形相似;兩對對應邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似;三邊對應成比例的兩三角形相似;待定系數法的步驟:先設出函數解析式,把已知點的坐標代入得到一個方程組,求出方程組的解即可得到所設字母的值,確定出函數解析式.同時注意翻折得到三角形全等以及掌握分類討論的數學思想.
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(-3,2
2
(-3,2
2
,點B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)

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