精英家教網(wǎng)如圖一,平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC,O為坐標原點,A點坐標為(10,0),C點坐標為(0,6),D是BC邊上的動點(與點B,C不重合),現(xiàn)將△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB邊上選取適當?shù)狞cE,將△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直線DG、DF重合.
(1)如圖二,若翻折后點F落在OA邊上,求直線DE的函數(shù)關系式;
(2)設D(a,6),E(10,b),求b關于a的函數(shù)關系式,并求b的最小值;
(3)一般地,請你猜想直線DE與拋物線y=-
1
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x2+6的公共點的個數(shù),在圖二的情形中通過計算驗證你的猜想;如果直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6始終有公共點,請在圖一中作出這樣的公共點.
分析:(1)當F落在OA上時,四邊形OCDF和四邊形DGEB都是正方形,因此CD=DF=OC=6,即D點的坐標為(6,6),而GF=DF-DG=DF-(BC-CD)=6-(10-6)=2,因此E點的坐標為(10,2).然后可用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式.
(2)根據(jù)D、E的坐標可知:CD=a,BE=6-b,BD=BC-CD=10-a,可根據(jù)相似三角形△OCD和△DBE得出的關于OC、CD、DB、BE的比例關系式求出b、a的函數(shù)關系式.然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出b的最小值及對應的a的值.
(3)可將(1)中得出的直線DE的解析式聯(lián)立拋物線的解析式,看得出的一元二次方程的根的判別式△的值與0的關系即可得出交點的個數(shù).
解答:(1)解:∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°,
OC∥DF,
∵CD∥OA,
∴四邊形COFD是矩形,
∵根據(jù)△COD沿OD翻折,得到△FOD,
∴OC=OF=6,
∴四邊形COFD是正方形,
同理四邊形BDGE是正方形,
∴CD=OF=DF=6,OA=10,AE=6-4=2,
∴D(6,6),E(10,2),
設直線DE的解析式是y=kx+b,
代入得:
2=10k+b
6=6k+b
,
解得:k=-1,b=12,
∴直線DE的函數(shù)關系式是y=-x+12.

(2)依題意有:CD=a,BD=10-a,BE=6-b.
∵∠ODE=90°,∠OCD=90°,
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
BD
OC
=
BE
CD

10-a
6
=
6-b
a

∴b=
1
6
a2-
5
3
a+6=
1
6
(a-5)2+
11
6

當a=5時,b最小值=
11
6
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(3)猜想:直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6只有一個公共點.
證明:由(1)可知,DE所在直線為y=-x+12.
代入拋物線,得-
1
24
x2+6=-x+12
化簡得x2-24x+144=0,所以△=0.
所以直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6只有一個公共點.
解得:x=12,
∴y=0,
公共點為:(12,0).
∴延長OF交DE于點H,點H即為公共點.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似、矩形的性質(zhì)等重要知識點,綜合性強,考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.
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5
≈2•236
).
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米.

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