Question

平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）．如圖②，將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG，DF重合．
（1）圖①中，若△COD翻折后點(diǎn)F落在OA邊上，求直線DE的解析式；
（2）設(shè)（1）中所求直線DE與x軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)你猜想過(guò)點(diǎn)M、C且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線與直線DE的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在圖①的圖形中，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想；
（3）圖②中，設(shè)E（10，b），求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于折疊前后三角形全等，可得出D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線DE解析式；
（2）由于拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱(chēng)軸是y軸，可設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax²+6，由y=-x+12：得M（12，0），將M點(diǎn)代入拋物線解析式可確定解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式可得唯一點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由折疊性質(zhì)可證△COD∽△BDE，得出相似比，設(shè)CD=a，∵AE=b，∴DB=10-a，BE=6-b，可得出a與b的二次函數(shù)關(guān)系式，用二次函數(shù)性質(zhì)解答本題．

解答：解：
（1）已知A（10，0），C（0，6），由折疊可知D（6，6），E（10，2），
設(shè)直線DE解析式：y=kx+b，則

6k+b=6 10k+b=2

，
解得

k=-1 b=12

∴直線DE的解析式為：y=-x+12；

（2）過(guò)點(diǎn)M、C且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線與直線DE的公共點(diǎn)只有一個(gè)；
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax²+6，
由y=-x+12：得M（12，0），
把M（12，0）代入拋物線解析式得a=-

1

24

，
聯(lián)立

y=- 1 24 x2+6 y=-x+12

得x₁=x₂=12；
故公共點(diǎn)唯一，是（12，0）；

（3）設(shè)CD=a，∵AE=b，
∴DB=10-a，BE=6-b，由折疊可知∠CDF=2∠CDO，∠BDG=2∠BDE，而∠CDF+∠BDG=180°，
∴2∠CDO+2∠BDE=180°，∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°
∴∠COD=∠BDE
∴△COD∽△BDE
∴

CO

BD

=

CD

BE

即

6

10-a

=

a

6-b

解得b=

1

6

a²-

5

3

a+6=

1

6

（a-5）²+

11

6

；
故當(dāng)a=5時(shí)，b的最小值是

11

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)系里的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)及函數(shù)解析式，會(huì)用全等，相似的知識(shí)解答有關(guān)問(wèn)題．