【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)小明同學(xué)探究此問題的方法是,延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是;
(2)探索延伸:
如圖②,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF= ∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說明理由;
(3)實(shí)際應(yīng)用:
如圖③,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn),2小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,當(dāng)∠EOF=70°時(shí),兩艦艇之間的距離是海里.
(4)能力提高:
如圖④,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為 .
【答案】
(1)EF=BE+DF
(2)
解:結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;
理由:延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,
在△ABE和△ADG中, ,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中, ,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
(3)280
(4)
【解析】解:(1.)EF=BE+DF,證明如下:
在△ABE和△ADG中, ,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中, ,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
所以答案是 EF=BE+DF.
(3.)如圖③,連接EF,延長AE、BF相交于點(diǎn)C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF= ∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件,
∴結(jié)論EF=AE+BF成立,
即EF=2×(60+80)=280海里.
答:此時(shí)兩艦艇之間的距離是280海里;
所以答案是:280;
(4.)如圖4,
將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACD,
∴△ABM≌△ACD,
∴∠AMB=∠ADC,∠BAM=∠CAM,AM=AD,BM=CD=1,
∵∠AMB+∠AMC=90°,
∴∠AMC+∠ADC=180°,
∴∠MAD+∠MCD=180°,
∵∠BAC=90°,
∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=90°,
∴∠MCD=90°,
在Rt△NCD中,CN=3,CD=1,
根據(jù)勾股定理得,ND= ,
∵∠MAD=90°,∠MAN=45°,
∴∠DAN=45°,
∵AM=AD,AN=AN,
∴△MAN≌△DAN,
∴MN=DN= ,
所以答案是 .
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解全等三角形的性質(zhì)(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知銳角三角形ABC,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑畫弧與BC交于點(diǎn)E,分別以點(diǎn)E、C為圓心,以大于 EC的長為半徑畫弧相交于點(diǎn)P,作射線AP,交BC于點(diǎn)D.若BC=5,AD=4,tan∠BAD= ,則AC的長為( )
A.3
B.5
C.
D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,0),B(b,0),且+| b-6|=0.
(1)求A,B的坐標(biāo);
(2)如圖2,點(diǎn)P為AB的垂直平分線上一點(diǎn),BD⊥AP于點(diǎn)D,BE是△PBD的角平分線,EH⊥AB于點(diǎn)H,交BD于點(diǎn)G,若AD=m,DE=n,求△BEG的面積(用含m,n的式子表示);
(3)如圖3,點(diǎn)M在AB的垂直平分線上,且∠MAB=40°,點(diǎn)N在MA的延長線上,且MN=8,求∠ABN的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為創(chuàng)建國家文明城市,我市特在每個(gè)紅綠燈處設(shè)置了文明監(jiān)督崗,文明勸導(dǎo)員老牛某工作日在市中心的一個(gè)十字路口,對(duì)闖紅燈的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).根據(jù)上午7:00~12:00中各時(shí)間段闖紅燈的人數(shù)制作了如圖所示的尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)該工作日7:00~12:00共有人闖紅燈?
(2)①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖, ②計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中10~11點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).
(3)該工作日7:00~12:00,各時(shí)間段闖紅燈的人數(shù)的方差是
(4)請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息向交通管理部門提出一條合理化建議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示,點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn),過點(diǎn)O折疊菱形,使B,B′兩點(diǎn)重合,MN是折痕.若B'M=1,則CN的長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則點(diǎn)P是△ABC的( )
A.外心
B.內(nèi)心
C.三條高線的交點(diǎn)
D.三條中線的交點(diǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= ,CD= ,點(diǎn)P在四邊形ABCD上,若P到BD的距離為 ,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D 為 BC 的中點(diǎn),DE⊥AC 于點(diǎn) E,AE=8,求 CE 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)BF=t(0≤t≤2),線段EF的垂直平分線GH分別交邊CD,AB于點(diǎn)G,H,過E做EM⊥BC于點(diǎn)M,過G作GN⊥AB于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)t≠2時(shí),求證:△EMF≌△GNH;
(2)順次連接E、H、F、G,設(shè)四邊形EHFG的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值.
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