Question

18．如圖，直線y₁=kx+2與x軸交于點A（m，0）（m＞4），與y軸交于點B，拋物線y₂=ax²-4ax+c（a＜0）經(jīng)過A，B兩點．P為線段AB上一點，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q．
（1）當m=5時，
①求拋物線的關(guān)系式；
②設點P的橫坐標為x，用含x的代數(shù)式表示PQ的長，并求當x為何值時，PQ=$\frac{8}{5}$；
（2）若PQ長的最大值為16，試討論關(guān)于x的一元二次方程ax²-4ax-kx=h的解的個數(shù)與h的取值范圍的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①有m=5得到A點坐標，再把A點坐標代入直線解析式求出k得到y(tǒng)₁=-$\frac{2}{5}$x+2，接著計算自變量為0時對應的函數(shù)值可得B點坐標，然后把A點和B點坐標代入y₂=ax²-4ax+c得到a和c的方程組，再解方程組求出a、c即可得到拋物線解析式；
②利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設點P的坐標為（x，-$\frac{2}{5}$x+2），Q（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2），則可表示出PQ=-$\frac{5}{2}$x²+2x，然后利用PQ=$\frac{8}{5}$得到-$\frac{5}{2}$x²+2x=$\frac{8}{5}$，然后解方程即可；
（2）設P（x，kx+2），則Q（x，ax²-4ax+2），PQ的長用l表示，則易得l=ax²-（4a+k）x，再利用PQ長的最大值為16大致畫出l與x的二次函數(shù)圖象，由于一元二次方程ax²-4ax-kx=h的解的情況可看作為二次函數(shù)l=ax²-4ax-kx與直線l=h的交點個數(shù)，則利用函數(shù)圖象可判斷當h=16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h有兩個相等的實數(shù)解；當h＞16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h沒有實數(shù)解；當0＜h＜16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h有兩個解．

解答 解：（1）①∵m=5，
∴點A的坐標為（5，0），
把A（5，0）代入y₁=kx+2得5k+2=0，解得k=-$\frac{2}{5}$，
∴直線解析式為y₁=-$\frac{2}{5}$x+2，
當x=0時，y₁=2，
∴點B的坐標為（0，2）．
將A（5，0），B（0，2）代入${y_2}=a{x^2}-4ax+c$，得$\left\{\begin{array}{l}25a-20a+c=0\\ c=2.\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{5}\\ c=2.\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2；
②設點P的坐標為（x，-$\frac{2}{5}$x+2），則Q（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2），
∴PQ=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2-（-$\frac{2}{5}$x+2）=-$\frac{5}{2}$x²+2x，
而PQ=$\frac{8}{5}$，
∴-$\frac{5}{2}$x²+2x=$\frac{8}{5}$，解得：x₁=1，x₂=4，
∴當x=1或x=4時，PQ=$\frac{8}{5}$；
（2）設P（x，kx+2），則Q（x，ax²-4ax+2），PQ的長用l表示，
∴l(xiāng)=ax²-4ax+2-（kx+2）=ax²-（4a+k）x，
∵PQ長的最大值為16，如圖，
當h=16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h有兩個相等的實數(shù)解；
當h＞16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h沒有實數(shù)解；
當0＜h＜16時，一元二次方程ax²-4ax-kx=h有兩個解．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會利用直線與拋物線的交點個數(shù)判斷方程解得情況．