Question

9．如圖，已知雙曲線y=$\frac{2}{x}$與直線y=x相交于A、B兩點，點C（2，2）、D（-2，-2）在直線y=x上．
（1）若點P（1，m）為雙曲線y=$\frac{2}{x}$上一點，求PD-PC的值（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點間的距離為$|{MN}|=\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}$）
（2）若點P（x，y）（x＞0）為雙曲線上一動點，請問PD-PC的值是否為定值？請說明理由．（參考公式：若a≥0，b≥0，則a+b≥2$\sqrt{ab}$）
（3）若點P（x，y）（x＞0）為雙曲線上一動點，連接PC并延長PC交雙曲線另一點E，當P點使得PE=4時，求P的坐標．

Answer 1

分析 （1）只需求出點P的坐標，然后用兩點間的距離公式就可求出PD-PC的值；
（2）由題可得點P（x，$\frac{2}{x}$），然后運用兩點間的距離公式可得PD=|x+$\frac{2}{x}$+2|，PC=|x+$\frac{2}{x}$-2|．由x＞0可推出x+$\frac{2}{x}$+2＞0，x+$\frac{2}{x}$-2＞0，從而可求出PD-PC的值；
（3）設直線PE的解析式為y=kx+b，由點C（2，2）在直線PE上可得b=2-2k，即得直線PE的解析式為y=kx+2-2k，則x₁、x₂是方程kx+2-2k=$\frac{2}{x}$即kx²+（2-2k）x-2=0的兩根，然后結(jié)合條件PE=4，運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值，代入方程kx²+（2-2k）x-2=0，解這個方程就可得到點P的坐標．

解答 解：（1）∵點P（1，m）為雙曲線y=$\frac{2}{x}$上一點，
∴m=2，P（1，2）．
∵C（2，2）、D（-2，-2），
∴PD=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=5，
PC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-2）^{2}}$=1，
∴PD-PC=5-1=4；

（2）PD-PC的值是定值4．
理由：∵點P（x，y）（x＞0）為雙曲線y=$\frac{2}{x}$上一動點，
∴y=$\frac{2}{x}$，P（x，$\frac{2}{x}$），
∴PD=$\sqrt{（x+2）^{2}+（\frac{2}{x}+2）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+4x+\frac{8}{x}+8}$
=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}+4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}+2）^{2}}$=|x+$\frac{2}{x}$+2|．
同理PC=|x+$\frac{2}{x}$-2|．
∵x＞0，∴$\frac{2}{x}$＞0，
∴x+$\frac{2}{x}$+2＞0，x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{2}{x}$-2＞0，
∴PD-PC=（x+$\frac{2}{x}$+2）-（x+$\frac{2}{x}$-2）=4；

（3）設直線PE的解析式為y=kx+b，
∵點C（2，2）在直線PE上，
∴2k+b=2，
∴b=2-2k，
∴直線PE的解析式為y=kx+2-2k，
設x₁、x₂是方程kx+2-2k=$\frac{2}{x}$即kx²+（2-2k）x-2=0的兩根，
則有x₁+x₂=$\frac{2k-2}{k}$=2-$\frac{2}{k}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{k}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）2-4x₁•x₂=（2-$\frac{2}{k}$）²-4（-$\frac{2}{k}$）=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴PE²=（x₁-x₂）²+（$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$）²=（x₁-x₂）²+4•$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{（{x}_{1}•{x}_{2}）^{2}}$
=（4+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+4•$\frac{4+\frac{4}{{k}^{2}}}{\frac{4}{{k}^{2}}}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+4=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+8．
∵PE=4，∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+8=16，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²-8=0，
整理得（k²-1）2=0，
解得k₁=1，k₂=-1．
由條件“延長PC交雙曲線另一點E”可得k＜0，
∴k=-1，
代入kx²+（2-2k）x-2=0得，
-x²+4x-2=0，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$．
當x=2+$\sqrt{2}$時，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，點P（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）．
當x=2-$\sqrt{2}$時，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，點P（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．
∴點P的坐標為（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查了直線與雙曲線的交點問題、雙曲線上點的坐標特征、兩點間的距離公式、根與系數(shù)的關(guān)系、解高次方程等知識，將根號內(nèi)的代數(shù)式配成完全平方是解決第（2）小題的關(guān)鍵，將兩點間的距離公式與根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合是解決第（3）小題的關(guān)鍵．