Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DE給出以下四個結(jié)論：
①$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AF}{FC}$；②若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；③當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個圓上時，DF=DB；④若$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，則S_△ABC=9S_△BDF，其中正確的結(jié)論序號是①②③．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$得①正確；由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，易證得$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$再根據(jù)AC=$\sqrt{2}$AB，得出②正確，先判斷出CD為直徑，再判斷出BE=EF，即得到結(jié)論③正確，先判斷出AF=

1

4

AC，進(jìn)而得出S_△BDF=

1

12

S_△ABC，即S_△ABC=12S_△BDF，得出④錯誤．

解答 解：∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$，
∴①正確．
∵∠BCD+∠BEC=∠BEC+∠ABC=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
∵AB=BC，
∴△CBD≌△BAG，
∴AG=BD，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
∴②正確；
∵B，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，∠DBC=90°，
∴CD為直徑，
∴∠CFD=90°，
∵BF⊥CD，
∴BE=EF，
∴BD=DE，
∴③正確；
∵AG∥BC，
∴

AG

AB

=

AF

CF

，
∵AG=BD，

BD

AD

=

1

2

，
∴

BD

AB

=

1

3

，
∴

AF

CF

=

1

3

，
∴AF=

1

4

AC，
∴S_△ABF=

1

4

S_△ABC；
∴S_△BDF=

1

3

S_△ABF，
∴S_△BDF=

1

12

S_△ABC，
即S_△ABC=12S_△BDF
∴④錯誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 此題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，比例的基本性質(zhì)，同底的兩三角形的面積比是高的比，解本題的關(guān)鍵是用比例的基本性質(zhì)推導(dǎo)線段的比，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用