Question

【題目】一個(gè)三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字均不為零且互不相等．若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字中任選兩個(gè)組成一個(gè)新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個(gè)和為M的“團(tuán)結(jié)數(shù)”，如：123的“團(tuán)結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132．

（1）求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

（2）若一個(gè)三位正整數(shù)N，其百位數(shù)字為2，十位數(shù)字為a、個(gè)位數(shù)字為b，且各位數(shù)字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”與N之差為24，求N的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）284或218．

【解析】整體分析：

（1）M為100a+10b+c，計(jì)算M與其“友誼數(shù)”的差；（2）用N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”與N之差為24列方程，結(jié)合a，b是正整數(shù)求解.

解：（1）由題意可得，

設(shè)M為100a+10b+c，則它的友誼數(shù)為：100b+10a+c，

（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）

=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c

=100（a﹣b）+10（b﹣a）

=90（a﹣b），

∵=6(a-b)，

∴M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；

（2）由題意可得，

N=2×100+10a+b=200+10a+b，

N的團(tuán)結(jié)數(shù)是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，

∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，

解得， 或.

即N是284或218．