【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0)、B(a,b),且a、b滿足12a+a2+(b)2=0

1)求ab的值;

2)若點Ax軸正半軸上,且OA=2,在平面內(nèi)有一動點Q(不在x軸上)QO=m,QA=n,QB=p,且p2=m2+n2,求∠OQA的度數(shù).

3)閱讀以下內(nèi)容:對于實數(shù)a、b(ab)20,∴a22ab+b20

a2+b22ab

利用以上知識,在(2)的條件下求△AOQ的面積的最大值.

【答案】1a=1,b;(2)∠OQA的度數(shù)為30°或150°;(3)當(dāng)∠OQA=30°時,△AOQ的面積的最大值為2;當(dāng)∠OQA=150°時,△AOQ的面積的最大值為2

【解析】

1)由題意根據(jù)完全平方式的非負(fù)性,即可求得ab的值;

2)根據(jù)題意易證△OAB為等邊三角形,故可通過把△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△AOC,把已知的QOmQAn、QBp統(tǒng)一到△OCQ中,得到△OCQ是直角三角形,再加上旋轉(zhuǎn)得到的∠AQC60°,即能求出∠OQA的度數(shù);但由于不確定點Q的位置,故需分點Q在△OAB內(nèi)部和點Q在△OAB外部兩種情況討論計算;

3)由題意通過構(gòu)造OQ邊上的高AH求得△AOQ面積的表達(dá)式,根據(jù)條件給的不等式可知,當(dāng)ab時,ab可取得最大值為a2+b2,即OQAQ時,△AOQ取得最大值;根據(jù)勾股定理把AQOQ求出,即求出面積最大值;由于在(2)的條件下不確定∠OQA的度數(shù),故需分兩種情況討論計算.

解:(1∵12a+a2+(b)2=0

∴(1a)2+(b)2=0,

∴1a=0,b0,

∴a=1,b.

2∵OA=2A(2,0)B(1),

∴OBAB,

∴OA=OB=AB

∴△OAB是等邊三角形,

∴∠OAB=60°

△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°△AOC,連接CQ,

∴∠CAQ=∠OAB=60°,AC=AQ=n,OC=BQ=p

∴△ACQ是等邊三角形,

∴CQ=AQ=n,∠AQC=60°,

∵p2=m2+n2OC2=OQ2+CQ2

∴△OCQ是直角三角形,∠OQC=90°

若點Q△OAB的外部,如圖1,

∠OQA=∠OQC∠AQC=90°60°=30°

若點Q△OAB的內(nèi)部,如圖2,

∠OQA=∠OQC+∠AQC=90°+60°=150°,

綜上所述:∠OQA的度數(shù)為30°150°

3∵a2+b2≥2ab,

當(dāng)a=b時,a2+b2=2ab成立,即此時ab取得最大值,

過點AAH⊥OQH,如圖3,

∴∠AHQ=90°,

∵∠AQH=30°

∴AHAQn,

∴SAOQOQAHmnmn

當(dāng)m=n時,SAOQ取得最大值,

當(dāng)∠OQA=30°時,如圖3

∵OQ=AQ=n,QH

∴OH=OQQH=nn,

∵OA=2,OA2=OH2+AH2,

∴(nn)2+(n)2=22

解得:n2=4(2),

∴SAOQn2=2;

當(dāng)∠OQA=150°時,如圖4,

∴OH=OQ+QH=nn

∵OA=2,OA2=OH2+AH2,

∴(nn)2+(n)2=22,

解得:n2=4(2),

∴SAOQn2=2

綜上所述:當(dāng)∠OQA=30°時,△AOQ的面積的最大值為2;

當(dāng)∠OQA=150°時,△AOQ的面積的最大值為2

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②A地在B地的北偏西30°方向上;

③cos∠BAC=

④∠ACB=50°.其中錯誤的是( 。

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