Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線l：y＝＋4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，一個(gè)高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移

（1）在平移過(guò)程中，得到△A1B1C1，此時(shí)頂點(diǎn)A1恰落在直線l上，寫出A1點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）繼續(xù)向右平移，得到△A2B2C2，此時(shí)△A2B2C2的三邊中垂線的交點(diǎn)P（即外心）恰好落在直線l上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在這樣的點(diǎn)，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點(diǎn)能同時(shí)構(gòu)成三個(gè)等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（，3），（2）P（3，1）；（3）存在四個(gè)點(diǎn)，分別是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形ABC的高為3，得出A1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，再代入y＝＋4即可；

（2）設(shè)P（x，y），連接A2P并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)H，連接B2P，先求出A2B2＝2，HB2＝，根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出PH＝1，將y＝1代入y＝＋4，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，得P（3，1），由（2）得，C2（4，0），點(diǎn)C2滿足直線y＝＋4的關(guān)系式，得出點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合，∠PMB2＝30°，設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構(gòu)成等腰三角形，則QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，作QD⊥x軸與點(diǎn)D，連接QB2，根據(jù)QB2＝2，∠QB2D＝2∠2＝60°，求出Q（，3），設(shè)點(diǎn)S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，則SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，作SF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，求出S（43，），設(shè)點(diǎn)R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構(gòu)成等腰三角形，則RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，作RE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，R（4＋3，）．

（1）∵等邊三角形ABC的高為3，
∴A1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∵頂點(diǎn)A1恰落在直線l上，
∴3＝＋4，
解得；x＝，
∴A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（，3），
故答案為：（，3）；
（2）設(shè)P（x，y），連接A2P并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)H，連接B2P，
在等邊三角△A2B2C2中，高A2H＝3，
∴A2B2＝2，HB2＝，
∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H＝30°，
∴PH＝1，即y＝1，
將y＝1代入y＝＋4，
解得：x＝3．
∴P（3，1）；

（3）∵點(diǎn)P是等邊三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形
∴點(diǎn)P滿足的條件，由（2）得P（3，1），
由（2）得，C2（4，0），點(diǎn)C2滿足直線y＝＋4的關(guān)系式，
∴點(diǎn)C2與點(diǎn)M重合
∴∠PMB2＝30°，
設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構(gòu)成等腰三角形，
此時(shí)QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，
作QD⊥x軸與點(diǎn)D，連接QB2，
∵QB2＝2，∠QB2D＝2∠PMB2＝60°，
∴QD＝3，
∴Q（，3），
設(shè)點(diǎn)S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，
此時(shí)SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，
作SF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，
∴SF＝，
∴S（43，），
設(shè)點(diǎn)R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構(gòu)成等腰三角形，
此時(shí)RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，
作RE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，∴ER＝，
∴R（4＋3，）．
答：存在四個(gè)點(diǎn)，分別是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．