Question

如圖，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，以AB為邊作正方形ABCD，P為正方形ABCD的對稱中心，正方形ABCD的邊長為

10

，tan∠ABO=3．
（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若（1）中的拋物線與x軸另一交點(diǎn)為E，在直線OP上是否存在一點(diǎn)H，使△BHE的周長最��？如有，求出△BHE周長的最小值；
（4）點(diǎn)R從原點(diǎn)O出發(fā)沿OP方向以

2

個單位每秒速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，直接寫出以A，B，C，R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．由tan∠ABO=3可知

OA

OB

=3，設(shè)OA=3x，則OB=x，根據(jù)正方形ABCD的邊長為

10

利用勾股定理求出OA及OB的長，得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△BFC，得出C的坐標(biāo)，然后設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）連接AC，則P為AC中點(diǎn)，根據(jù)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先求出（1）中的拋物線與x軸另一交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后在y軸上取點(diǎn)B′（0，1），連結(jié)BB′，B′E，設(shè)B′E與OP交于點(diǎn)H，由B與B′關(guān)于OP對稱，可知此時(shí)△BHE的周長=BH+HE+BE=B′E+

13

5

最�。�在△OB′E中，運(yùn)用勾股定理求出B′E=

349

5

，進(jìn)而得出△BHE周長的最小值為

349 +13

5

；
（4）分當(dāng)CR∥AB時(shí)，當(dāng)AR∥BC時(shí)，當(dāng)BR∥AC三種情況求得t的值．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．
∵tan∠ABO=3，
∴

OA

OB

=3，
∴設(shè)OA=3x，則OB=x．
∵正方形ABCD的邊長為

10

，
∴在△AOB中，OA²+OB²=AB²，即9x²+x²=（

10

）²，
解得x=1，
∴OA=3，OB=1，
∴A（0，3），B（1，0）．
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠FBC=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
在△AOB與△BFC中，

∠OAB=∠FBC ∠AOB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△AOB≌△BFC（AAS），
∴AO=BF=3，OB=FC=1，
∴OF=OB+BF=1+3=4，
∴C（4，1）．
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

c=3 a+b+c=0 16a+4b+c=1

，
解得

a= 5 6 b=- 23 6 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=

5

6

x²-

23

6

x+3；

（2）連接AC．
∵P為正方形ABCD的對稱中心，
∴P是AC的中點(diǎn)，
∵A（0，3），C（4，1），
∴P（

0+4

2

，

3+1

2

），即（2，2），
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；

（3）在直線OP上存在一點(diǎn)H，能夠使△BHE的周長最小．
∵y=

5

6

x²-

23

6

x+3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，

5

6

x²-

23

6

x+3=0，
解得x₁=1，x₂=

18

5

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

18

5

，0）．
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴直線OP的解析式為y=x．
在y軸上取點(diǎn)B′（0，1），連結(jié)BB′，B′E，設(shè)B′E與OP交于點(diǎn)H．
∵OB=OB′=1，OP平分∠BOB′，
∴OP是線段BB′的垂直平分線，
∴B與B′關(guān)于OP對稱，HB′=HB，
∴△BHE的周長=BH+HE+BE=B′H+HE+（

18

5

-1）=B′E+

13

5

，最�。�
在△OB′E中，∵∠B′OE=90°，
∴B′E=

OB′2+OE2

=

12+( 18 5 )2

=

349

5

，
∴△BHE周長的最小值為

349 +13

5

；

（4）以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形，有三種可能：
①如果CR∥AB，那么R是直線OP與CD的交點(diǎn)．
∵B（1，0），P（2，2），P為BD中點(diǎn)，
∴D（3，4），
又∵C（4，1），
∴可求得直線CD的解析式為y=-3x+13．
當(dāng)x=y時(shí)，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即R點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

，故t=

13

4

；
②如果AR∥BC，那么R是直線OP與AD延長線的交點(diǎn)．
∵A（0，3），D（3，4），
∴可求得直線AD的解析式為y=

1

3

x+3．
當(dāng)x=y時(shí)，

1

3

x+3=x，解得x=

9

2

；
即R點(diǎn)橫坐標(biāo)為

9

2

，故t=

9

2

；
③如果BR∥AC，過B作AC的平行線，交OP于R．
∵A（0，3），C（4，1），
∴可求得直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+3．
設(shè)BR的解析式為y=-

1

2

x+n．
將B（1，0）代入，得-

1

2

×1+n=0，
解得n=

1

2

，
∴y=-

1

2

x+

1

2

．
當(dāng)x=y時(shí)，-

1

2

x+

1

2

=x，解得x=

1

3

；
即R點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

3

，故t=

1

3

．
綜上所述，t=

13

4

或t=

9

2

或t=

1

3

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，軸對稱的性質(zhì)及梯形的判定定理等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．